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Kreise in der Ebene (2D)

Mit einem Mittelpunkt und einem Radius lässt sich in der Ebene eine Kreisgleichung aufstellen.

Die Koordinatengleichung des Kreises lautet:

$(x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$
  • $r$ ist der Radius
  • $M(x_M|y_M)$ ist der Mittelpunkt
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Merke

Ein Kreis in der Ebene ist die Menge aller Punkte $P$, die vom Mittelpunkt $M$ denselben Abstand $r$ (Radius) haben.

Herleitung

Die Länge des Vektors von $M$ zu $P$ entspricht dem Radius.

$|\vec{MP}|=r$

Wir können diesen Vektor auch mithilfe der Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{x_M}$ darstellen (siehe Bild oben).

$|\vec{x}-\vec{x_M}|=r$

Wenn wir die ganze Gleichung quadrieren fällt der Betrag weg (Rechenregel von Vektoren). Wir erhalten die vektorielle Gleichung für Kreise in der Ebene.

$(\vec{x}-\vec{x_M})^2=r^2$

$\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x_M \\ y_M \end{pmatrix}\right)^2=r^2$

Die obere Koordinatengleichung erhält man durch ausmultiplizieren (Skalarprodukt).


Radius und Mittelpunkt bestimmen

Bei der genannten Kreisgleichung können Radius und Mittelpunkt abgelesen werden.

Es finden sich aber auch andere quadratische Gleichungen, die einen Kreis beschreiben.

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Merke

Radius und Mittelpunkt können nur mit der Vektor-/Koordinatengleichung bestimmt werden. Zum Unwandeln nutzt man die quadratische Ergänzung.

Beispiel

Bestimme den Mittelpunkt und Radius des Kreises $k$.

$k: x^2-4x+y^2+2y=20$

  1. Quadratische Ergänzung

    $x^2-4x+y^2+2y=20$

    $x^2-4x\color{red}{+2^2-2^2}$ $+y^2+2y\color{blue}{+1^2-1^2}=20$

    $(x-2)^2-2^2$ $+(y+1)^2-1^2=20$

    $(x-2)^2+(y+1)^2-5=20\,\,|+5$

    $(x-2)^2+(y+1)^2=25$

  2. Mittelpunkt und Radius ablesen

    $k: (x-2)^2+(y+1)^2=25$

    $k: (x-2)^2+(y+1)^2=5^2$

    Achtung: Beim Radius muss erst die Wurzel gezogen werden! Der Mittelpunkt steht in der Gleichung mit umgekehrten Vorzeichen!

    $M(2|-1)$ und $r=5$