Kugeln und Geraden
Es gibt drei mögliche Lagebeziehungen für eine Kugel und eine Gerade im Raum.
Merke
- Eine Passante ist eine Gerade, die keinen Punkt mit der Kugel gemeinsam hat.
- Eine Tangente hat genau einen Punkt gemeinsam.
- Eine Sekante hat zwei verschiedene Punkt mit der Kugel gemeinsam.
Eine Kugel und eine Gerade können also einen, zwei oder keinen gemeinsamen Punkt haben.
Zum Berechnen der Schnittpunkte werden die einzelnen Koordinaten in die Kugelgleichung eingesetzt.
Vorgehensweise
- Koordinaten von $g$ rausschreiben
- Gleichungen in die Kugelgleichung einsetzen und lösen
- $r$ in die Gerade einsetzen, um Schnittpunkt(e) zu erhalten
Beispiel
$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
$k: (x+1)^2+(y-2)^2$ $+(z-1)^2=17$
-
$g$ in 3 Gleichungen zerlegen
Wir ersetzen $\vec{x}$ und schreiben die jeweiligen Koordinaten als eigene Gleichung raus.
$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
- $x=5+3r$
- $y=6+2r$
- $z=5+2r$
-
Koordinaten einsetzen
Die Gleichungen werden nun bei der Kugelgleichung für $x$, $y$ und $z$ eingesetzt.
$(x+1)^2+(y-2)^2$ $+(z-1)^2=17$
$(5+3r+1)^2$ $+(6+2r-2)^2$ $+(5+2r-1)^2=17$
$(6+3r)^2$ $+(4+2r)^2$ $+(4+2r)^2=17$
Binomische Formel anwenden, um Klammern aufzulösen
$36+36r+9r^2$ $+16+16r+4r^2$ $+16+16r+4r^2=17$
$17r^2+68r+68=17\quad|-17$
$17r^2+68r+51=0\quad|:17$
$r^2+4r+3=0$
PQ-Formel anwenden, um quadratische Gleichung zu lösen.
$r_{1,2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{(\frac{p}2)^2-q}$
$r_{1,2}=-2\pm\sqrt{2^2-3}$
$r_{1,2}=-2\pm1$$r_{1}=-1$ und $r_{2}=-3$
-
$r$ einsetzen
Die beiden berechneten $r$ werden in die Geradengleichung eingesetzt, um die Schnittpunkte zu erhalten.
$\vec{OS_1} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$
$\vec{OS_2} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$
Es handelt sich um eine Sekante, welche die Kugel bei $S_1(2|4|3)$ und $S_2(-4|0|-1)$ schneidet.