Mathe Kreise und Kugeln Kugeln und Geraden

Kugeln und Geraden

Es gibt drei mögliche Lagebeziehungen für eine Kugel und eine Gerade im Raum.

!

Merke

  • Eine Passante ist eine Gerade, die keinen Punkt mit der Kugel gemeinsam hat.

  • Eine Tangente hat genau einen Punkt gemeinsam.

  • Eine Sekante hat zwei verschiedene Punkt mit der Kugel gemeinsam.

Eine Kugel und eine Gerade können also einen, zwei oder keinen gemeinsamen Punkt haben.

Zum Berechnen der Schnittpunkte werden die einzelnen Koordinaten in die Kugelgleichung eingesetzt.

i

Vorgehensweise

  1. Koordinaten von $g$ rausschreiben
  2. Gleichungen in die Kugelgleichung einsetzen und lösen
  3. $r$ in die Gerade einsetzen, um Schnittpunkt(e) zu erhalten

Beispiel

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

$k: (x+1)^2+(y-2)^2$ $+(z-1)^2=17$

  1. $g$ in 3 Gleichungen zerlegen

    Wir ersetzen $\vec{x}$ und schreiben die jeweiligen Koordinaten als eigene Gleichung raus.

    $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

    1. $x=5+3r$
    2. $y=6+2r$
    3. $z=5+2r$
  2. Koordinaten einsetzen

    Die Gleichungen werden nun bei der Kugelgleichung für $x$, $y$ und $z$ eingesetzt.

    $(x+1)^2+(y-2)^2$ $+(z-1)^2=17$

    $(5+3r+1)^2$ $+(6+2r-2)^2$ $+(5+2r-1)^2=17$

    $(6+3r)^2$ $+(4+2r)^2$ $+(4+2r)^2=17$

    Binomische Formel anwenden, um Klammern aufzulösen

    $36+36r+9r^2$ $+16+16r+4r^2$ $+16+16r+4r^2=17$

    $17r^2+68r+68=17\quad|-17$

    $17r^2+68r+51=0\quad|:17$

    $r^2+4r+3=0$

    PQ-Formel anwenden, um quadratische Gleichung zu lösen.

    $r_{1,2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{(\frac{p}2)^2-q}$
    $r_{1,2}=-2\pm\sqrt{2^2-3}$
    $r_{1,2}=-2\pm1$

    $r_{1}=-1$ und $r_{2}=-3$

  3. $r$ einsetzen

    Die beiden berechneten $r$ werden in die Geradengleichung eingesetzt, um die Schnittpunkte zu erhalten.

    $\vec{OS_1} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$

    $\vec{OS_2} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

    Es handelt sich um eine Sekante, welche die Kugel bei $S_1(2|4|3)$ und $S_2(-4|0|-1)$ schneidet.