Mathe Kurvendiskussion Monotonieverhalten

Monotonieverhalten

Als Monotonieverhalten bezeichnet man das Steigungsverhalten einer Funktion. Dieses gibt Auskunft darüber, wann eine Funktion steigt oder fällt.

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Allgemein

Eine Funktion ist für zwei Stellen $x_1$ und $x_2$ mit $x_1 < x_2$

  • monoton steigend, wenn $f(x_1)\le f(x_2)$
  • monoton fallend, wenn $f(x_1)\ge f(x_2)$
  • streng monoton steigend, wenn $f(x_1)< f(x_2)$
  • streng monoton fallend, wenn $f(x_1)> f(x_2)$
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Merke

Man kann auch mit der Ableitung das Monotonieverhalten in einem Intervall bestimmen.

Die Funktion ist auf dem Intervall $I$ differenzierbar und

  • monoton steigend, wenn für alle $x\in I$ gilt $f'(x)\ge0$
  • monoton fallend, wenn für alle $x\in I$ gilt $f'(x)\le0$
  • streng monoton steigend, wenn für alle $x\in I$ gilt $f'(x)>0$
  • streng monoton fallend, wenn für alle $x\in I$ gilt $f'(x)<0$
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Vorgehensweise

  1. Ableitung bestimmen
  2. Nullstelle(n) der Ableitung berechnen
  3. Intervalle bestimmen
  4. Probeeinsetzung in die Ableitung

Beispiel

Untersuche die Funktion $f(x)=x^3+2x^2-4x-8$ auf Monotonie.

  1. Ableitung bestimmen

    $f'(x)=3x^2+4x-4$
  2. Nullstellen der Ableitung berechnen

    Es liegt eine quadratische Gleichung vor, die man beispielsweise mit der PQ-Formel lösen kann.
    $f'(x)=3x^2+4x-4\quad|:3$
    $f'(x)=x^2+\frac43x-\frac43$

    $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$
    $x_{1,2} = -\frac{2}{3} \pm\sqrt{(\frac23)^2+\frac43}$
    $x_{1,2} = -\frac{2}{3} \pm\sqrt{\frac{16}{9}}$
    $x_{1,2} = -\frac{2}{3} \pm\frac43$
    $x_1=\color{blue}{-2} \quad x_2=\color{green}{\frac23}$
  3. Intervalle bestimmen

    Mit den Nullstellen der Ableitungsfunktion bildet man nun die Intervalle, bei denen man das Monotonieverhalten untersucht.
    $x_1=\color{blue}{-2} \quad x_2=\color{green}{\frac23}$

    $I_1(-\infty|\color{blue}{-2})$, $I_2(\color{blue}{-2}|\color{green}{\frac23})$, $I_3(\color{green}{\frac23}|\infty)$
  4. Probeeinsetzungen in die Ableitung

    Jeweils einen beliebigen Wert aus jedem Intervall in die Ableitung einsetzen.

    $I_1(-\infty|-2)$:
    Probeeinsetzung: $x=\color{red}{-3}$
    $f'(\color{red}{-3})=3\cdot(\color{red}{-3})^2+4\cdot(\color{red}{-3})-4$ $=11 > 0$
    => Die Ableitung ist im Intervall $I_1$ positiv, d.h. die Funktion ist in diesem Intervall monoton steigend.

    $I_2(-2|\frac23)$:
    Probeeinsetzung: $x=\color{red}{0}$
    $f'(\color{red}{0})=3\cdot\color{red}{0}^2+4\cdot\color{red}{0}-4$ $=-4 < 0$
    => Die Ableitung ist im Intervall $I_2$ negativ, d.h. die Funktion ist in diesem Intervall monoton fallend.

    $I_3(\frac23|\infty)$:
    Probeeinsetzung: $x=\color{red}{1}$
    $f'(\color{red}{1})=3\cdot\color{red}{1}^2+4\cdot\color{red}{1}-4$ $=3 > 0$
    => Die Ableitung ist im Intervall $I_3$ positiv, d.h. die Funktion ist in diesem Intervall monoton steigend.

Monotonieverhalten Teil 1: Erklärung, Begriffe: (streng) monoton steigend / (streng) monoton fallend

Kooperation mit dem Kanal von Mister Mathe

Da es sich beim Monotonieverhalten um das Steigungsverhalten handelt, betrachtet man zur Bestimmung die Ableitung, da diese die Steigung der Funktion in Abhängigkeit von $x$ angibt.

  • eine positive Ableitung (Steigung) entspricht monoton steigend
  • eine negative Ableitung (Steigung) entspricht monoton fallend

Strenge Monotonie bezeichnet den Fall, dass die Steigung bzw. Ableitung im Intervall nie bei 0 liegt.

Monotonieverhalten Teil 2: Monotonieverhalten rechnerisch bestimmen, erste Ableitung

Kooperation mit dem Kanal von Mister Mathe

Um die möglichen Stellen für einen Vorzeichenwechsel der Ableitung $f'$ zu bestimmen, berechnet man die Nullstellen von $f'$. Nur an diesen Stellen kann sich das Monotonieverhalten der Ausgangsfunktion $f$ ändern. Anschließend nutzt man einen beliebigen Wert pro enstandenem Intervall den man in die Ableitung einsetzt, um zu entscheiden, ob der Funktionsgraph in diesem Intervall steigt oder fällt.