Mathe ↠ Kurvendiskussion ↠ Schnittpunkte und Nullstellen

Schnittpunkte und Nullstellen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Beim Schnittpunkt mit der x-Achse gilt: $y=0$. Die allgemeine Form ist:

$S_x(x_N|0)$

$x_N$ bezeichnet man als Nullstelle.

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Vorgehensweise

  1. Funktion gleich Null setzen: $x_N\Leftrightarrow f(x_N)=0$
  2. Gleichung lösen
  3. Schnittpunkt(e) angeben

Beispiel

$f(x)=x^2-9$

  1. Funktion gleich Null setzen

    $x^2-9=0$

  2. Gleichung nach $x$ auflösen

    $x^2-9=0\quad|+9$
    $x^2=9\quad|\pm\sqrt{}$
    $x_{ N1 }=+\sqrt{ 9 }=3$
    $x_{ N2 }=-\sqrt{ 9 }=-3$

  3. Schnittpunkte angeben

    $S_{x1}(3|0)$ und $S_{x2}(-3|0)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

Beim Schnittpunkt mit der y-Achse gilt: $x=0$. Die allgemeine Form ist:

$S_y(0|f(0))$
!

Merke

Eine Funktionsgraph kann maximal einen Schnittpunkt mit der y-Achse haben.
i

Vorgehensweise

  1. $f(0)$ berechnen
  2. Schnittpunkt angeben

Beispiel

$f(x)=x^2-9$

  1. $f(0)$ berechnen

    $f(0)=0^2-9=-9$

  2. Schnittpunkt angeben

    $S_{y}(0|-9)$

Schnittpunkte und Nullstellen bestimmen, Achsenschnittpunkte, Kurvendiskussion

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Ein Funktionsgraph kann mehrere Nullstellen bzw. Schnittpunkte mit der x-Achse haben. Allerdings kann es maximal einen Schnittpunkt mit der y-Achse geben. Es gibt auch Funktionen, deren Graphen gar keine Achsenschnittpunkte haben.

Jeder Punkt hat eine x- und eine y-Koordinate. Je nachdem, welche Koordinate null ist, unterscheidet man zwei Arten von Achsenschnittpunkten:

  • Schnittpunkt mit x-Achse: $y=0$
  • Schnittpunkt mit y-Achse: $x=0$

Die x-Koordinate beim Schnittpunkt mit der x-Achse nennt man auch Nullstelle und wird durch gleichsetzen der Funktionsgleichung mit 0 berechnet.

Für die Schnittstelle mit der y-Achse berechnet man einfach $f(0)$. Bei linearen Funktionen kann der y-Achsenabschnitt $n$ beispielsweise einfach abgelesen werden.