Symmetrieverhalten
Das Symmetrieverhalten gibt Auskunft darüber, ob der Graph einer Funktion zu einer Achse oder einem Punkt symmetrisch ist.
Achsensymmetrie
!
Merke
Für Achsensymmetrie zur y-Achse muss gelten:
$f(-x)=f(x)$
$f(-x)=f(x)$
Beispiel
Überprüfe, ob $f(x)=x^4$ achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
$f(\color{red}{-x})=(\color{red}{-x})^4=x^4$$f(x)=x^4$
=> achsensymmetrisch zu y-Achse, da $f(-x)=f(x)$
i
Zusatz
Der Graph einer Funktion kann auch achsensymmetrisch zu einer beliebigen Achse sein, wenn gilt:
$f(c-x)=f(c+x)$
$c$ ist dabei die Gleichung der Achse.
$f(c-x)=f(c+x)$
$c$ ist dabei die Gleichung der Achse.
Punktsymmetrie
!
Merke
Für Punktsymmetrie zum Ursprung muss gelten:
$f(-x)=-f(x)$
$f(-x)=-f(x)$
Beispiel
Überprüfe, ob $f(x)=x^3$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
$f(\color{red}{-x})=(\color{red}{-x})^3=-x^3$$-f(x)=-x^3$
=> punktsymmetrisch zum Ursprung, da $f(-x)=-f(x)$
i
Zusatz
Der Graph einer Funktion kann auch punktsymmetrisch zu einem beliebigen Punkt sein, wenn gilt:
$f(x_0-x)-y_0=$ $-(f(x_0+x)+{y}_0)$
$x_0$ und $y_0$ sind dabei die Koordinaten des Punktes.
$f(x_0-x)-y_0=$ $-(f(x_0+x)+{y}_0)$
$x_0$ und $y_0$ sind dabei die Koordinaten des Punktes.
Symmetrieverhalten, Symmetrie von Funktionen, Achsensymmetrie, Punktsymmetrie, Symmetrie zur y-Achse
Kooperation mit dem Kanal von Mister Mathe
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Die Überprüfung auf Symmetrie lässt sich für beliebige Achsen oder Punkte durchführen, wobei die beiden häufigsten betrachteten Fälle folgende sind:
- Für Achsensymmetrie zur y-Achse muss gelten: $f(-x)=f(x)$
- Für Punktsymmetrie zum Ursprung muss gelten: $f(-x)=-f(x)$
Zur Überprüfung auf das jeweilige Kriterium rechnet man beide Seiten der Gleichung aus und schaut, ob man das gleiche Ergebnis erhält. Wenn ja, ist das Kriterium erfüllt.