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Hebbare Definitionslücken

Eine Definitionslücke heißt hebbare Definitionslücke einer gebrochenrationalen Funktion, wenn die Definitionslücke durch Kürzen behoben werden kann.

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Merke

Eine gebrochenrationale Funktion
$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$
besitzt eine hebbare Definitionslücke, wenn gilt:
$g(x)=0$ und $h(x)=0$
und die Definitionslücke behoben werden kann.

Hebbare Definitionslücke beheben

Jede hebbare Definitionslücke lässt sich durch Kürzen beheben. Damit erweitert man den Definitionsbereich, denn die behobene Lücke muss dann nicht mehr vom Definitionsbereich ausgeschlossen werden.

Beispiel

Aufgabe: Behebe die hebbare Definitionslücke der Funktion.

$f(x)=\frac{x+1}{x^2-x-2}$

  1. Zähler und Nenner faktorisieren

    $f(x)=\frac{x+1}{x^2-x-2}$ $=\frac{x+1}{(x+1)(x-2)}$

  2. Bruch kürzen

    Jetzt kann einfach das $(x+1)$ aus dem Zähler und dem Nenner gekürzt werden
    $f(x)=\frac{\color{red}{x+1}}{\color{red}{(x+1)}(x-2)}$ $=\frac{1}{x-2}$

    => Die hebbare Definitionslücke bei $x=-1$ wurde behoben

Hebbare Definitionslücke bestimmen

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Vorgehensweise

  1. Nullstelle des Nenners berechnen (Definitionslücke bestimmen)
  2. Nullstelle(n) des Nenners in Zähler einsetzen
  3. Bedingung überprüfen
  4. Behebbarkeit überprüfen

Beispiel

Aufgabe: Berechne die Polstelle der Funktion

$f(x)=\frac{x+1}{x^2-x-2}$

  1. Nullstelle des Nenners berechnen

    $x^2-x-2=0$
    In dem Fall liegt eine quadratische Gleichung vor, die man beispielsweise mit der PQ-Formel lösen kann.
    $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$
    $x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm\sqrt{(\frac{1}{2})^2+2}$
    $x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$
    $x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm\frac{3}{2}$
    $x_1=\color{blue}{2} \quad x_2=\color{green}{-1}$

    => Definitionslücken bei $x_1=\color{blue}{2}$ und $x_2=\color{green}{-1}$

  2. Nullstellen des Nenners in Zähler einsetzen

    $x+1$

    $\color{blue}{2}+1=3$
    => $x_1=2$ ist keine Nullstelle des Zählers

    $\color{green}{-1}+1=0$
    => $x_2=-1$ ist eine Nullstelle des Zählers

  3. Bedingung überprüfen

    Die Nullstelle mit $x_1=2$ des Nenners ist keine Nullstelle des Zählers. Die Bedingung ist nicht erfüllt:
    Bei $x_1=2$ handelt es sich um eine Polstelle der Funktion.

    Die Nullstelle mit $x_2=-1$ des Nenners ist auch eine Nullstelle des Zählers. Die Bedingung ist erfüllt:
    Die Stelle kann Polstelle oder hebbare Definitionslücke sein.

  4. Behebbarkeit überprüfen

    Faktorisieren
    $f(x)=\frac{x+1}{x^2-x-2}$ $=\frac{x+1}{(x+1)(x-2)}$
    Kürzen
    $f(x)=\frac{\color{red}{x+1}}{\color{red}{(x+1)}(x-2)}$ $=\frac{1}{x-2}$
    => Bei $x_2=-1$ handelt es sich um eine hebbare Definitionslücke, denn sie kann durch Kürzen behoben werden