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Gebrochenrationale Funktionen

Die gebrochenrationalen Funktionen gehören auch zu den rationalen Funktionen. Sie besitzen eine ganzrationale Funktion im Zähler und eine im Nenner.

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

Oder etwas komplizierter sieht die Funktion dann so aus:

$=\frac{a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_1\cdot x+a_0}{b_m\cdot x^m+b_{m-1}\cdot x^{m-1}+...+b_1\cdot x+b_0}$

$g(x)$ heißt Zählerpolynom und $h(x)$ heißt Nennerpolynom, da beides Polynome (= Funktionsterme ganzrationaler Funktionen) sind.

Beispiele

Beispiele für gebrochenrationale Funktionen sind:

  • $f(x)=\frac{x^3}{x-1}$

  • $f(x)=\frac{x-2}{x^3+x}$

  • $f(x)=\frac{x^4-3x+5}{x^2+5x-4}$

Echt gebrochenrationale Funktion

Eine rationale Funktion heißt echt gebrochenrationale Funktion, wenn der Grad des Zählerpolynoms $g(x)$ kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms $h(x)$.

Beispiel

$f(x)=\frac{3x^3+3x^2-x}{x^6}$ ist eine echt gebrochenrationale Funktion, denn das Zählerpolynom hat den Grad 3 und das Nennerpolynom den Grad 6.


Unecht gebrochenrationale Funktion

Eine rationale Funktion heißt unecht gebrochenrationale Funktion, wenn der Grad des Zählerpolynoms $g(x)$ größer ist als der Grad des Nennerpolynoms $h(x)$.

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Merke

Eine unecht gebrochenrationale Funktion lässt sich immer durch Polynomdivision in eine Summe ganzrationaler und echt gebrochenrationaler Funktion aufteilen.

unecht gebrochenrationale Funktion = ganzrationale Funktion + echt gebrochenrationale Funktion

Beispiel

$f(x)=\frac{3x^4+x^2-2x}{7x^3}$ ist eine unecht gebrochenrationale Funktion, denn das Zählerpolynom hat den Grad 4 und das Nennerpolynom den Grad 3. Zerlegt sieht die Funktion dann so aus:

$f(x)=\frac{3x^4+x^2-2x}{7x^3}$ $=\frac37 x+\frac{1}{7x}-\frac{2}{7x^2}$