Ganzrationale Funktionen

Eine Teilgruppe der rationalen Funktionen sind die ganzrationalen Funktionen oder auch Polynomfunktionen. Sie besitzen eine Gleichung in der Form:

$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...$ $+a_1\cdot x+a_0$

Den Funktionsterm nennt man Polynom und Der Exponent $n$ gibt den Grad des Polynoms an.

Folgende sind typische Funktionsgraphen für Funktionen n-ten Grades:

$n=1$

lineare Funktion*

$f(x)=x$

$n=2$

quadratische Funktion*

$f(x)=x^2$

$n=3$

kubische Funktion*

$f(x)=x^3$

* In den Beispielen sind alle Funktionen auch Potenzfunktionen, aber lineare, quadratische und kubische Funktionen sind nur Potenzfunktionen, wenn kein weiterer Summand dahinter steht. Zum Beispiel sind das keine Potenzfunktionen: $f(x)=x+5$ und $f(x)=4x^2-x+3$

Beachte

Potenzfunktionen der Form $f(x)=ax^n$ sind nur ganzrationale Funktionen, wenn $n\in\mathbb{N}$.
Potenzfunktionen mit $n\in\mathbb{Z}$ und $n<0$ (z.B. $x^{-3}$) sind gebrochenrationale Funktionen.

Beispiele

Weitere Beispiele für ganzrationale Funktionen sind:

$f(x)=10x-5$

$f(x)=x^3+x$

$f(x)=x^4+10x^3+2x^2+4$

Merke

Der Graph einer Funktion n-ten Grades hat höchstens

$n$ Nullstellen
$(n-1)$ Extrempunkte
$(n-2)$ Wendepunkte

Beispiel

Die abgebildete Funktion 3. Grades besitzt:

drei Nullstellen ($x_0$)
zwei Extrempunkte ($H$ = Hochpunkt und $T$ = Tiefpunkt)
einen Wendepunkt ($W$)