Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion
Häufig wird der Grenzwert durch Probieren bestimmt.
Dennoch lässt er sich bei gebrochenrationalen Funktionen auch mithilfe des Zähler- und Nennergrades ermitteln.
Tipp
Zählergrad < Nennergrad
Merke
$\lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x)=0$
Beispiel
$f(x)=\frac{x+1}{x^2-x-2}$
Der Zählergrad ist 1 ($x^1$) und der Nennergrad 2 ($x^2$). Es gelten die Grenzwerte:
$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=0$ und $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=0$
Zählergrad = Nennergrad
Merke
$\lim\limits_{x\to\pm\infty} \frac{{\color{red}{a_n}} x^n + \dots + a_1 x + a_ 0}{{\color{red}{b_m}} x^m + \dots + b_1 x + b_ 0}=\color{red}{\frac{a_n}{b_m}}$
Beispiel
$f(x)=\frac{\color{red}{3}x^4+2x^2+10}{\color{red}{2}x^4+2x^2+1}$
Der Zählergrad ist 4 ($x^4$) und der Nennergrad ebenfalls. Es gelten die Grenzwerte:
$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\frac32$ und $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\frac32$
Zählergrad > Nennergrad
Hier gibt es mehrere Möglichkeiten. Es ist unnötig kompliziert alle auswendig zu lernen. Daher am besten hier mit der Wertetabelle arbeiten.
Wer geübt mit Grenzwerten ist, kann hier Polynomdivision anwenden und dann den Grenzwert leicht ablesen.
Beispiel
Wenn man für $x$ unendlich einsetzt bekommt man auch für den Grenzwert unendlich.
$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{x^2-3x-4}{x+2}$ $=\lim\limits_{x\to+\infty} (x-5+\frac{6}{x+2})$ $=„+\infty“$