Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen
Eine gebrochenrationalen Funktion besitzt eine Nullstelle, wenn das Zählerpolynom den Wert null annimmt und das Nennerpolynom einen Wert ungleich null.
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Merke
$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=0$,
wenn gilt:
$g(x)=0$ und $h(x)\neq0$
Der obere Term muss also gleich null gesetzt werden. Dann schaut man ob das Ergebnis in der Definitionsmenge enthalten ist (man schaut, dass man nicht durch 0 teilt).
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Vorgehensweise
- Nullstelle(n) des Zählers berechnen
- Nullstelle(n) des Zählers in Nenner einsetzen
- Bedingung überprüfen
Beispiele
Aufgabe: Berechne die Nullstelle der Funktionen.
$f(x)=\frac{x+1}{x^2-x-2}$
-
Nullstelle des Zählers berechnen
$x+1=0\quad|-1$
$x=\color{red}{-1}$ -
Nullstelle des Zählers in Nenner einsetzen
$x^2-x-2$
$(\color{red}{-1})^2-(\color{red}{-1})-2$ $=1+1-2=0$
=> $x=-1$ ist eine Nullstelle des Nenners -
Bedingung überprüfen
Die Nullstelle des Zählers ist auch Nullstelle des Nenners. Die Bedingung ist nicht erfüllt:
Bei $x=-1$ handelt es sich um keine Nullstelle der Funktion.
$f(x)=\frac{x-2}{(x+4)^2}$
-
Nullstelle des Zählers berechnen
$x-2=0\quad|+2$
$x=\color{red}{2}$ -
Nullstelle des Zählers in Nenner einsetzen
$(x+4)^2$
$(\color{red}{2}+4)^2$ $=6^2=36$ => $x=2$ ist keine Nullstelle des Nenners -
Bedingung überprüfen
Die Nullstelle des Zählers ist keine Nullstelle des Nenners. Die Bedingung ist erfüllt:
Bei $x=2$ handelt es sich um eine Nullstelle der Funktion.