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Rechenregeln bestimmter Integrale

Beim Rechnen mit bestimmten Integralen gibt es einige Regeln, die man können sollte.

  1. Gleiche untere und obere Grenze

    $\int_a^a f(x) \, \mathrm{d}x=0$

  2. Vertauschung der Grenzen

    $\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x$ $=-\int_b^a f(x) \, \mathrm{d}x$

  3. Intervalladditivität

    $\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x + \int_b^c f(x) \, \mathrm{d}x$ $=\int_a^c f(x) \, \mathrm{d}x$

Die Faktorregel und Summenregel für unbestimmte Integrale gibt es auch bei den bestimmten Integralen.

  1. Faktorregel

    $\int_a^b k\cdot f(x) \, \mathrm{d}x$ $= k\cdot \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x$

  2. Summenregel

    $\int_a^b (f(x)+g(x)) \, \mathrm{d}x$ $= \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x + \int_a^b g(x) \, \mathrm{d}x$

Rechenregeln für bestimmte Integrale, Integralrechnung, bestimmtes Integral

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Da das bestimmte Integral den Flächeninhalt unter einem Fuktionsgraphen darstellt, lassen sich bestimmte Rechenregel aufstellen und entsprechend erklären.

  • Es gibt keine Fläche unter einer einzigen Stelle $a$. Dies wäre eine unendlich dünne Gerade mit einem Flächeninhalt von 0:
    $\int_a^a f(x) \, \mathrm{d}x=0$
  • Da bei der Berechnung bestimmter Integrale der Flächeninhalt bis zur unteren Grenze von dem bis zur oberen Grenze abgezogen wird, ändert sich bei Vertauschung der Grenzen auch das Vorzeichen:
    $\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x$ $=-\int_b^a f(x) \, \mathrm{d}x$
  • Stellt man sich das bestimmte Integral als Fläche von $a$ bis $b$ vor und addiert dann die Fläche von $b$ bis $c$, ist das Ergebnis entsprechend die gesamte Fläche von $a$ bis $c$:
    $\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x + \int_b^c f(x) \, \mathrm{d}x$ $=\int_a^c f(x) \, \mathrm{d}x$

Die Faktorregel und Summenregel lassen sich mit den Rechenregeln unbestimmter Integrale erklären. Denn Konstanten können beim Integrieren "rausgezogen" werden und Summen lassen sich gliedweise integrieren.