Berechnung bestimmter Integrale
Ein bestimmtes Integral kann mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung berechnet werden, indem man die Integrationsgrenzen $a$ und $b$ jeweils in eine Stammfunktion von $f$ einsetzt und subtrahiert:
Vorgehensweise
- Stammfunktion berechnen
- Integrationsgrenzen in Stammfunktion einsetzen
- Integral berechnen: $F(b)-F(a)$
Beispiel
$\int_\color{red}{2}^\color{blue}{3} 3x^2 \, \mathrm{d}x$
-
Stammfunktion berechnen
Hier wird die Potenzregel angewendet.
$F(x)=\int 3x^2=x^3$ -
Integrationsgrenzen in Stammfunktion einsetzen
Nun wird $x$ der Stammfunktion mit den Integrationsgrenzen des Integrals ersetzt.
$F(\color{red}{a})=F(\color{red}{2})=\color{red}{2}^3$
$F(\color{blue}{b})=F(\color{blue}{3})=\color{blue}{3}^3$ -
Integral berechnen
Jetzt muss das nur noch in die Formel eingesetzt werden.
$\int_\color{red}{a}^\color{blue}{b} f(x) \, \mathrm{d}x$ $= [F(x) + C]_\color{red}{a}^\color{blue}{b}$ $= F(\color{blue}{b}) - F(\color{red}{a})$
$\int_\color{red}{2}^\color{blue}{3} 3x^2 \, \mathrm{d}x$ $= [x^3]_\color{red}{2}^\color{blue}{3}$ $= \color{blue}{3}^3 - \color{red}{2}^3$ $=27-8$ $=19$
Berechnung bestimmter Integrale, Integralrechnung, bestimmtes Integral, Stammfunktion, Fläche
Ein bestimmtes Integral ist eine konstante Zahl, die den Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen angibt. Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gibt an, wie man ausgehend von der Definition $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ eines bestimmten Integrals ebenjene Zahl berechnet.
Häufig wird in eckigen Klammern die Stammfunktion $F$ als Zwischenschritt notiert. Die Stammfunktion erhält man durch das Integrieren bzw. Berechnen des unbestimmten Integrals. Beachte beim bestimmten Integral immer weiterhin die Integrationsgrenzen anzugeben.