Bestimmte Integrale

Die Integralrechnung wird zur Berechnung der Fläche in einem Intervall zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse genutzt.

Diese Fläche wird durch das bestimmte Integral abgebildet. Es hängt ausschließlich von der Funktion und den Integrationsgrenzen $a$ und $b$ ab.

Berechnung bestimmter Integrale

Das Ergebnis eines bestimmten Integrals ist immer eine eindeutige, feste Zahl und kann mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung berechnet werden.

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist von zentraler Bedeutung in der Infinitesimalrechnung. Er

• wird benutzt bei der Berechnung bestimmter Integrale.
• verbindet das bestimmte mit dem unbestimmten Integral.
• stellt den Zusammenhang zwischen Differenzial- und Integralrechnung dar.

Berechnung

Entscheidend für die Berechnung ist die Stammfunktion $F$, die den summierten Flächeinhalt bis zu einer Stelle $x$ unterhalb der Funktion angibt. Beim bestimmten Integral wird allerdings nur der Flächeinhalt im Integrationsintervall $[a; b]$ gesucht. Also wird vom gesamten Flächeninhalt bis zu Stelle b, nämlich $F(b)$, noch der Teil $F(a)$ abgezogen.

Häufig wird in eckigen Klammern die Stammfunktion $F$ als Zwischenschritt notiert. Die Stammfunktion erhält man durch das Integrieren bzw. Berechnen des unbestimmten Integrals. Beachte beim bestimmten Integral immer weiterhin die Integrationsgrenzen anzugeben.

Rechenregeln

1. Gleiche untere und obere Grenze

   $\int_a^a f(x) \, \mathrm{d}x=0$

2. Vertauschung der Grenzen

   $\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x$ $=-\int_b^a f(x) \, \mathrm{d}x$

3. Intervalladditivität

   $\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x + \int_b^c f(x) \, \mathrm{d}x$ $=\int_a^c f(x) \, \mathrm{d}x$

4. Faktorregel

   $\int_a^b k\cdot f(x) \, \mathrm{d}x$ $= k\cdot \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x$

5. Summenregel

   $\int_a^b (f(x)+g(x)) \, \mathrm{d}x$ $= \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x + \int_a^b g(x) \, \mathrm{d}x$