Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung lautet:

$\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$

Merke

Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

wird benutzt bei der Berechnung bestimmter Integrale.
verbindet das bestimmte mit dem unbestimmten Integral.
stellt den Zusammenhang zwischen Differenzial- und Integralrechnung dar.

Tipp

Die Integrationskonstante $C$ fällt beim Subtrahieren der Stammfunktionen weg:
$(F(b)+C)-(F(a)+C)$ $=F(b)-F(a)$

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, Integralrechnung, bestimmtes Integral, Fläche

Kooperation mit dem Kanal von Mister Mathe

Ein bestimmtes Integral ist eine konstante Zahl, die den Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen angibt. Nun interessiert einen, wie man von der angegebenen Definition $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ eines bestimmten Integrals auf ebenjene Zahl kommt.

Entscheidend dafür ist die Stammfunktion $F$, die den summierten Flächeinhalt bis zu einer Stelle $x$ unterhalb der Funktion angibt. Beim bestimmten Integral wird allerdings nur der Flächeinhalt im Integrationsintervall $[a; b]$ gesucht. Also wird vom gesamten Flächeninhalt bis zu Stelle b, nämlich $F(b)$, noch der Teil $F(a)$ abgezogen.

$\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$

Häufig wird in eckigen Klammern die Stammfunktion $F$ als Zwischenschritt notiert. Beachte dabei trotzdem weiterhin die Integrationsgrenzen anzugeben.

$\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = [F(x) + C]_a^b = F(b) - F(a)$