Ableiten/Differenzieren
Ableiten oder Differenzieren bezeichnet das Berechnen der Ableitungsfunktion.
Für das Ableiten gibt es zwei wichtige Methoden.
h-Methode
Bei der h-Methode nutzt man den Differenzialquotienten. Dabei setzt man aber keinen bestimmten Punkt $x$ ein, sondern lässt den Abstand der Punkte ($h=x-x_0$) gegen 0 laufen:
$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$
Beispiel
$f(x)=x^2$ ableiten
-
Einsetzen
$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$
$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{(x+h)^2-x^2}{h}}$
Binomische Formeln anwenden und vereinfachen.
$=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}}$ $=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{2xh+h^2}{h}}$ -
Kürzen
Nun muss der Bruch aufgelöst werden, denn, wenn man 0 für h einsetzen würde, ergibt der Nenner0 (Division durch 0 nicht erlaubt!).
$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{2xh+h^2}{h}}$
Ausklammern und kürzen
$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{h(2x+h)}{h}}$ $=\lim\limits_{h \to 0}(2x+h)$ -
$h=0$ einsetzen
Jetzt lässt man $h$ gegen 0 laufen und erhält die Ableitung.
$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}(2x+\overbrace{h}^{\to 0})=2x$
Ableiten mit Ableitungsregeln
Eine deutlich einfachere Methode um eine Funktion abzuleiten, sind die Ableitungsregeln.
| Funktion | Ableitung | |
|---|---|---|
| Konstanten-, Potenz- und Faktorregel | ||
| $f(x)=c$ | $f'(x)=0$ | |
| $f(x)=x^n$ | $f'(x)=n\cdot x^{n-1}$ | |
| $f(x)=k\cdot g(x)$ | $f'(x)=k\cdot g'(x)$ | |
| Summenregel | ||
| $f(x)=g(x)+h(x)$ | $f'(x)=g'(x)+h'(x)$ | |
| Produktregel | ||
| $f(x)=g(x)\cdot h(x)$ | $f'(x)=g'(x)\cdot h(x)$ $+h'(x)\cdot g(x)$ | |
| Quotientenregel | ||
| $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ | $f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x) -h'(x)\cdot g(x)}{(h(x))^2}$ | |
| Kettenregel | ||
| $f(x)=g(h(x))$ | $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$ | |
Beispiel
Potenzregel:
$f(x)=x^2$
$f'(x)=2x^{2-1}=2x$
h-Methode, Ableitung einer Funktion, Differentialrechnung, Differenzialrechnung
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