Ableitungen elementarer Funktionen
Hier sind die wichtigsten Ableitungen elementarer Funktionen aufgelistet, um sich eine komplizierte Herleitung mit der h-Methode zu ersparen.
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Tipp
Lerne am besten die Ableitungen dieser Funktionen auswendig. Außerdem solltest du zum Ableiten komplizierterer elementarer Funktionen die Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel, beherschen.
| Funktion | Ableitung | |
|---|---|---|
| Ableitung Potenz- und Wurzelfunktionen | ||
| $f(x)=x^n$ | $f'(x)=n\cdot x^{n-1}$ | |
| $f(x)=\sqrt{x}$ | $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | |
| Ableitung trigonometrische Funktionen | ||
| $f(x)=\sin(x)$ | $f'(x)=\cos(x)$ | |
| $f(x)=\cos(x)$ | $f'(x)=-\sin(x)$ | |
| $f(x)=\tan(x)$ | $f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$ | |
| Ableitung Exponentialfunktionen | ||
| $f(x)=a^x$ | $f'(x)=a^x\cdot\ln(a)$ | |
| $f(x)=e^x$ | $f'(x)=e^x$ | |
| Ableitung Logarithmusfunktionen | ||
| $f(x)=\log_a(x)$ | $f'(x)=\frac{1}{x\cdot\ln(a)}$ | |
| $f(x)=\ln(x)$ | $f'(x)=\frac{1}{x}$ | |
Beispiel
Ableiten mit Kettenregel
$f(x)=\sin(x^3+2x^2+3)$
Funktion in Teilfunktionen zerlegen
$g(x)=\sin(x)$ und $h(x)=\color{red}{x^3+2x^2+3}$Teilfunktionen ableiten
Ableiten von Sinusfunktion und anwenden der Potenzregel
$g'(x)=\color{blue}{\cos}(x)$ und $h'(x)=\color{green}{3x^2+4x}$Einsetzen (Kettenregel)
$f'(x)=\color{blue}{g'}(\color{red}{h(x)})\cdot \color{green}{h'(x)}$
$f'(x)$ $=\color{blue}{\cos}(\color{red}{x^3+2x^2+3})\cdot \color{green}{(3x^2+4x)}$