Mathe Ableitung und Differenzierbarkeit Ableiten elementarer Funktionen

Ableitungen elementarer Funktionen

Hier sind die wichtigsten Ableitungen elementarer Funktionen aufgelistet, um sich eine komplizierte Herleitung mit der h-Methode zu ersparen.

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Tipp

Lerne am besten die Ableitungen dieser Funktionen auswendig. Außerdem solltest du zum Ableiten komplizierterer elementarer Funktionen die Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel, beherschen.
FunktionAbleitung
Ableitung Potenz- und Wurzelfunktionen
$f(x)=x^n$ $f'(x)=n\cdot x^{n-1}$
$f(x)=\sqrt{x}$ $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Ableitung trigonometrische Funktionen
$f(x)=\sin(x)$ $f'(x)=\cos(x)$
$f(x)=\cos(x)$ $f'(x)=-\sin(x)$
$f(x)=\tan(x)$ $f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$
Ableitung Exponentialfunktionen
$f(x)=a^x$ $f'(x)=a^x\cdot\ln(a)$
$f(x)=e^x$ $f'(x)=e^x$
Ableitung Logarithmusfunktionen
$f(x)=\log_a(x)$ $f'(x)=\frac{1}{x\cdot\ln(a)}$
$f(x)=\ln(x)$ $f'(x)=\frac{1}{x}$

Beispiel

Ableiten mit Kettenregel

$f(x)=\sin(x^3+2x^2+3)$

  1. Funktion in Teilfunktionen zerlegen

    $g(x)=\sin(x)$ und $h(x)=\color{red}{x^3+2x^2+3}$
  2. Teilfunktionen ableiten

    Ableiten von Sinusfunktion und anwenden der Potenzregel
    $g'(x)=\color{blue}{\cos}(x)$ und $h'(x)=\color{green}{3x^2+4x}$
  3. Einsetzen (Kettenregel)

    $f'(x)=\color{blue}{g'}(\color{red}{h(x)})\cdot \color{green}{h'(x)}$

    $f'(x)$ $=\color{blue}{\cos}(\color{red}{x^3+2x^2+3})\cdot \color{green}{(3x^2+4x)}$