Differenzialquotient

Der Differenzialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten:

$\lim\limits_{x \to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}}$

Merke

Der Differenzialquotient (auch Ableitung) bezeichnet die Steigung an einem bestimmten Punkt einer Funktion.

Geometrisch gedeutet ist der Differenzialquotient die Steigung der Tangenten eines Punktes.
Dazu betrachtet man die Sekante und lässt den Abstand der beiden Punkte unendlich klein werden bis man eine Tangente erhält.

$Differenzialquotient mit Tangente$

Beispiel

Bestimme die Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x_0=1$ mit dem Differenzialquotient.

Einsetzen
$\lim\limits_{x \to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}}$
Für $x_0$ kann $1$ und für $f(x)$ kann $x^2$ eingesetzt werden
$\lim\limits_{x \to 1}{\frac{x^2-f(1)}{x - 1}}$ $=\lim\limits_{x \to 1}{\frac{x^2-1^2}{x - 1}}$ $=\lim\limits_{x \to 1}{\frac{x^2-1}{x - 1}}$
Bruch auflösen
Der Bruch muss zuerst aufgelöst werden, denn, wenn man 1 für $x$ einsetzen würde, ergibt der Nenner $0$ (Division durch 0 nicht erlaubt!).
$\lim\limits_{x \to 1}{\frac{x^2-1}{x - 1}}$
In diesem Fall ist es am einfachsten den Bruch umzuformen und zu kürzen. Falls dies nicht geht, muss man Polynomdivision anwenden.
$\lim\limits_{x \to 1}{\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}}=\lim\limits_{x \to 1}{(x+1)}$
$x_0=1$ für $x$ einsetzen
Jetzt lässt man $x$ gegen 1 laufen und erhält die Steigung.
$\lim\limits_{x \to 1}{(\overbrace{x}^{\to 1}+1)}=1+1=2$

Tipp

Um sich das komplizierte Rechnen mit dem Grenzwert und dem Differenzialquotienten zu ersparen, gibt es die Ableitungsfunktion.