Дифференциальный коэффициент

Дифференциальный коэффициент- это лимит отношения приращений:

Геометричеcки, дифференциальный коэффициент coответcтвует наклону каcательной к точке.
Принимая во внимание cекущую, пусть расстояние между точками будет беcконечно мало пока мы не получим касательную.

Примеры

Определим наклон функции $f(x)=x^2$ в точке $x_0=1$ используя дифференциальный коэффициент.

1. Подставим

   $\lim\limits_{x \to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}}$
   Для $x_0$ подставьте $1$ и для $f(x)$ подставим $x^2$
   $\lim\limits_{x \to 1}{\frac{x^2-f(1)}{x - 1}}$ $=\lim\limits_{x \to 1}{\frac{x^2-1^2}{x - 1}}$ $=\lim\limits_{x \to 1}{\frac{x^2-1}{x - 1}}$

2. Упрощение дробей

   Дробь упрощается, подставляя 1 для $x$, знаменатель приравнивается к $0$ (деление на 0 запрещено!).
   $\lim\limits_{x \to 1}{\frac{x^2-1}{x - 1}}$
   В этом случае проще всего видоизменить и сократить дробь. Если это не получается, используется деление многочленов.
   $\lim\limits_{x \to 1}{\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}}=\lim\limits_{x \to 1}{(x+1)}$
   

3. Подставим $x_0=1$ для $x$

   Если $x$ стремится к 0, получаем наклон.
   $\lim\limits_{x \to 1}{(\overbrace{x}^{\to 1}+1)}=1+1=2$