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Quotientenregel

Um einen Quotienten abzuleiten, nutzt man die Quotientenregel.

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Merke

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

$f'(x)=\frac{\color{red}{g'(x)}\cdot h(x) -\color{red}{h'(x)}\cdot g(x)}{(h(x))^2}$

Beispiel

$f(x)=\frac{x}{x+1}$

  1. Funktion in Teilfunktionen zerlegen

    $g(x)=x$ und $h(x)=x+1$

  2. Teilfunktionen ableiten

    $g'(x)=\color{blue}{1}$ und $h'(x)=\color{green}{1}$

  3. Einsetzen

    $f'(x)=\frac{\color{blue}{g'(x)}\cdot h(x) -\color{green}{h'(x)}\cdot g(x)}{(h(x))^2}$

    $f'(x)=\frac{\color{blue}{1}\cdot (x+1) -\color{green}{1}\cdot x}{(x+1)^2}$ $=\frac{1}{(x+1)^2}$

Quotientenregel - Ableitungsregeln, Ableiten, Ableitung, Bruch ableiten

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Wenn sowohl Zähler als auch Nenner einer Funktion nicht nur aus Konstanten bestehen, muss die Quotientenregel angewendet werden.

Das Vorgehen ist dabei für eine Funktion der Form $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ immer gleich:

  1. Teilfunktionen $g(x)$ und $h(x)$ bestimmen
  2. Teilfunktionen ableiten
  3. Teilfunktionen und Ableitungen in die Formel $f'(x)=\frac{\color{red}{g'(x)}\cdot h(x) -\color{red}{h'(x)}\cdot g(x)}{(h(x))^2}$ einsetzen