Ableiten von Brüchen und Wurzeln
Am einfachsten leitet man Brüche und Wurzeln ab, indem man erst die Potenzgesetze und dann die Ableitungsregeln anwendet.
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Merke
Brüche lassen sich in eine Potenz mit negativem Exponenten umschreiben:
$\frac{1}{a^x}=a^{-x}$
Wurzeln kann man auch als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben:
$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$
$\frac{1}{a^x}=a^{-x}$
Wurzeln kann man auch als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben:
$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$
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Vorgehensweise
- Bruch bzw. Wurzel in Potenz umformen
- Ableitungsregeln anwenden
- Potenz ggf. wieder als Bruch oder Wurzel schreiben
Beispiele
$f(x)=\frac{1}{x^2}$
Bruch in Potenz umformen
$f(x)=x^{-2}$Potenzregel anwenden
$f'(x)=-2x^{-2-1}=-2x^{-3}$Potenz als Bruch schreiben
$f'(x)=-\frac{2}{x^3}$
$f(x)=\sqrt[3]{x^2}$
Wurzel in Potenz umformen
$f(x)=x^\frac23$Potenzregel anwenden
$f'(x)=\frac23x^{\frac23-1}=\frac23x^{-\frac13}$Potenz umschreiben
$f'(x)=\frac23\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ $=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$
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Tipp
Bei Summen in der Wurzel wendet man nach dem Umformen die Kettenregel an.
Bei Summen im Nenner eines Bruches kann man auch die Kettenregel anwenden.
Alternativ empfiehlt es sich, wenn komplexere Brüche vorliegen, die Quotientenregel zu nutzen, um sich das Umformen zu ersparen.
Bei Summen im Nenner eines Bruches kann man auch die Kettenregel anwenden.
Alternativ empfiehlt es sich, wenn komplexere Brüche vorliegen, die Quotientenregel zu nutzen, um sich das Umformen zu ersparen.
Beispiel
Schaue dir, um das Beispiel zu verstehen, am besten vorher die Kettenregel an
$f(x)=\sqrt[3]{3x^2+3}$
Wurzel in Potenz umformen
$f(x)=(3x^2+3)^\frac13$Kettenregel anwenden
$f'(x)=\frac13(3x^2+3)^{-\frac23}\cdot6x$ $=2x(3x^2+3)^{-\frac23}$Potenz umschreiben
$f'(x)=\frac{2x}{(3x^2+3)^\frac23}$ $=\frac{2x}{\sqrt[3]{(3x^2+3)^2}}$
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