Получение дробей и корней
Самый простой способ получить дроби и корни - это сначала применить правила степеней, а затем правила вывода.
!
Запомните
Дроби можно записать как степень с отрицательным показателем:
$\frac{1}{a^x}=a^{-x}$
Корни, также могут быть записаны как степень с рациональными показателями:
$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$
$\frac{1}{a^x}=a^{-x}$
Корни, также могут быть записаны как степень с рациональными показателями:
$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$
i
Метод
- Преобразуйте дробь или корень в степень
- Примените правила вывода
- При необходимости снова запишите степень в виде дроби или корня
Примеры
$f(x)=\frac{1}{x^2}$
Преобразуйте дробь в степень
$f(x)=x^{-2}$Примените правило степени
$f'(x)=-2x^{-2-1}=-2x^{-3}$Напишите степень в виде дроби
$f'(x)=-\frac{2}{x^3}$
$f(x)=\sqrt[3]{x^2}$
Преобразуйте корень в степень
$f(x)=x^\frac23$Примените правило степени
$f'(x)=\frac23x^{\frac23-1}=\frac23x^{-\frac13}$Перепишите степень
$f'(x)=\frac23\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ $=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$
i
Подсказка
Для сумм в корне применяется цепное правило, после изменения формы .
Для сумм в знаменателе дроби, можно также использовать правило цепочки.В качестве альтернативы, если попались более сложные дроби, рекомендуется использовать правило частного, чтобы избежать необходимости изменения формы.
Для сумм в знаменателе дроби, можно также использовать правило цепочки.В качестве альтернативы, если попались более сложные дроби, рекомендуется использовать правило частного, чтобы избежать необходимости изменения формы.
Например
Чтобы понять этот пример, рассмотрим сначала цепное правило
$f(x)=\sqrt[3]{3x^2+3}$
Преобразуйте корень в степень
$f(x)=(3x^2+3)^\frac13$Примените правило степени
$f'(x)=\frac13(3x^2+3)^{-\frac23}\cdot6x$ $=2x(3x^2+3)^{-\frac23}$Перепишите степень
$f'(x)=\frac{2x}{(3x^2+3)^\frac23}$ $=\frac{2x}{\sqrt[3]{(3x^2+3)^2}}$