Mathe Anwendung Differenzialrechnung

Anwendung Differenzialrechnung

Die Differenzialrechnung (oder Differentialrechnung) bezeichnet ein Teilgebiet der Analysis, das sich mit dem Studium von Funktionen mithilfe der Ableitung beschäftigt. Ein Beispiel ist die Kurvendiskussion, die unter anderem folgende Untersuchungen beinhaltet:

EigenschaftBedingung
Achsenschnittpunkte
Schnittstellen x-Achse (Nullstellen) $f(x)=0$
Schnittstelle y-Achse $f(0)$ berechnen
Symmetrie
Achsensymmetrie zur y-Achse $f(-x)=f(x)$
Punktsymmetrie zum Ursprung $f(-x)=-f(x)$
Monotonieverhalten
monoton steigend $f'(x)\ge0$
monoton fallend $f'(x)\le0$
streng monoton steigend $f'(x)>0$
streng monoton fallend $f'(x)<0$
Extrempunkte
Hochpunkt $f'(x_E)=0$ und $f''(x_E)<0$
Tiefpunkt $f'(x_E)=0$ und $f''(x_E)>0$
Wendepunkte
Wendepunkt $f''(x_W)=0$ und $f'''(x_W)\neq0$

Extremwertprobleme

Bei den Extremwertaufgaben (Extremalprobleme) soll eine Funktion (Hauptbedingung) unter mindestens einer Nebenbedingung maximiert oder minimiert werden.

Aus Haupt- und Nebenbedingungen stellt man dazu die Zielfunktion auf, deren Extrempunkte man mit der Ableitung berechnen kann:

$x_E \Leftrightarrow f'(x_E)=0$

Mit der hinreichenden Bedingung und zweiten Ableitung überprüft man noch, ob es sich tatsächlich um ein Minimum oder Maximum handelt.

  • Hochpunkt, wenn gilt $f''(x_E)<0$
  • Tiefpunkt, wenn gilt $f''(x_E)>0$

Zuletzt werden dann noch die fehlenden Größen mit der Lösung und den ursprünglich aufgestellten Bedinungen berechnet.

Rekonstruktion

Bei der Rekonstruktion von Funktionen will man eine Funktion mit gegebenen Eigenschaften (z. B. Art, besondere Punkte, Steigung, ...) aufstellen. Dazu stellt man verschiedene Gleichungen auf und löst diese mithilfe von Gleichungssystemen.

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