Rekonstruktion von Funktionen

Die Rekonstruktion von Funktionen beschäftigt sich mit dem Aufstellen von Funktionsgleichungen. Bei einigen Rekonstruktionsaufgaben benötigt man die Differenzialrechnung.

Beispiel

Gesucht wird eine Funktion zweiten Grades, die einen Schnittpunkt mit der y-Achse bei $(0|-3)$ und einen Hochpunkt bei $H(3|2)$ besitzt.

1. Funktion und Ableitung

   Eine Funktion zweiten Grades ist eine quadratische Funktion. Diese sieht folgendermaßen aus:
   $f(x)=ax^2+bx+c$
   
   Die Ableitung wird auch noch benötigt:
   $f'(x)=2ax+b$
   
   Ziel ist es nun die Variablen $a$, $b$ und $c$ mit den gegebenen Punkten herauszufinden.

2. Gleichungen aufstellen

   Die anderen Informationen werden nun zum Aufstellen von Gleichungen verwendet.
   
   Der Schnittpunkt mit der y-Achse $S_y(0|-3)$ wird in die Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ eingesetzt:
   $f(0)=-3$
   $a\cdot0^2+b\cdot0+c=-3$
   $c=-3$
   
   Das gleiche mit dem Hochpunkt bei $H(3|2)$
   $f(3)=2$
   $a\cdot3^2+b\cdot3+c=2$
   $9a+3b+c=2$
   
   Die Ableitung ist bei Hochpunkten gleich Null.
   $f'(3)=0$
   $2a\cdot3+b=0$
   $6a+b=0$

3. Gleichungen lösen

   Die Gleichungen können mit einem linearen Gleichungssystem gelöst werden.
   
   1. $c=-3$
   2. $9a+3b+c=2$
   3. $6a+b=0$
   Es bietet sich zuerst das Einsetzungsverfahren an, indem man die I. Gleichung in die II. einsetzt.
   
   1. $9a+3b-3=2$
   2. $6a+b=0$
   Es gibt jetzt mehrere Möglichkeiten, wobei auch hier das Einsetzungsverfahren sinnvoll ist. Erst umstellen und dann einsetzen.
   
   1. $9a+3b-3=2$
   2. $6a+b=0\quad|-6a$
      $b=-6a$
   II in I
   $9a-18a-3=2\quad|+3$
   $-9a=5\quad|:(-9)$
   $a=-\frac59$
   

4. Funktionsgleichung angeben

   Folgende Variablen sind bereits bekannt:
   $a=-\frac59$ und $c=-3$
   $b$ lässt sich aus einer der Gleichungen berechnen:
   $b=-6a$ $=-6\cdot(-\frac59)$ $=\frac{10}3$
   
   Die Variablen werden eingesetzt und wir erhalten die gesuchte Funktion.
   $f(x)=ax^2+bx+c$
   $f(x)=-\frac59x^2+\frac{10}3x-3$