Воccтановление функций

Воccтановление функций оcновываетcя на уcтановлении функциональных уравнений. Некоторые задачи требуют дифференциальных иcчиcлений.

Пример

Мы ищем функцию во второй степени, которая пересекается с осью y в точке $(0|-3)$ и точкой максимума в $H(3|2)$.

1. Функция и деривация

   Функция во второй степени - это квадратная функция. Она выглядит следующим образом:
   $f(x)=ax^2+bx+c$
   
   Также нам нужна производная:
   $f'(x)=2ax+b$
   
   Теперь нужно вычислить переменные $a$, $b$ и $c$ с данными точками.

2. Устанавливаем уравнения

   Теперь, чтобы выстроить уравнения мы используем следующую информацию.
   
   Подставляем пересечение с осью y $S_y(0|-3)$ в функцию $f(x)=ax^2+bx+c$:
   $f(0)=-3$
   $a\cdot0^2+b\cdot0+c=-3$
   $c=-3$
   
   То же самое с точкой максимума $H(3|2)$
   $f(3)=2$
   $a\cdot3^2+b\cdot3+c=2$
   $9a+3b+c=2$
   
   Производная равна нулю в точках максимума .
   $f'(3)=0$
   $2a\cdot3+b=0$
   $6a+b=0$

3. Решим уравнения

   Уравнения могут быть решены с использованием системы линейных уравнений.
   
   1. $c=-3$
   2. $9a+3b+c=2$
   3. $6a+b=0$
   Прежде всего, метод подстановки предполагает подстановку I. уравнения во II.
   
   1. $9a+3b-3=2$
   2. $6a+b=0$
   Теперь у нас несколько вариантов, однако процесс подстановки имеет значение в данном уравнении. Сначала изменим и затем используем.
   
   1. $9a+3b-3=2$
   2. $6a+b=0\quad|-6a$
      $b=-6a$
   II в I
   $9a-18a-3=2\quad|+3$
   $-9a=5\quad|:(-9)$
   $a=-\frac59$
   

4. Определим уравнение функции

   Нам уже известны следующие переменные:
   $a=-\frac59$ и $c=-3$
   $b$ можно вычислить одним уравнением:
   $b=-6a$ $=-6\cdot(-\frac59)$ $=\frac{10}3$
   
   Использовав переменные мы получаем необходимую нам функцию.
   $f(x)=ax^2+bx+c$
   $f(x)=-\frac59x^2+\frac{10}3x-3$