Математика ↠ Эскиз кривой ↠ Максимум и минимум (экстремумы)

Экстремум

Точки максимумов и минимумов графа функций называются экстремумом.

!

Запомни

Необходимый критерий

Предпосылкой существования экстремумов является то, что первая производная имеет ноль в этой точке:
$f'(x_E)=0$

Достаточный критерий

Является ли это максимумом, минимумом или ни тем, ни другим, зависит от второй производной
Это

  • Точка максимума, если $f''(x_E)<0$
  • Точка минимума, если $f''(x_E)>0$
Maximum and minimum
i

Способ

  1. Найдите производную
  2. Вычислите нуль(и) первой производной
  3. Подставьте нуль(и) во вторую производную
  4. Определите экстремумы

Пример

Найдите экстремум функции $f(x)=x^3+2x^2-4x-8$.

  1. Найдите производные

    $f'(x)=3x^2+4x-4$
    $f''(x)=6x+4$

  2. Вычислите нуль производной

    Это квадратно уравнение, которое можно решить, используя PQ формулу.
    $f'(x)=3x^2+4x-4$
    $x_E\Leftrightarrow f'(x_E)=0$

    $3x^2+4x-4=0\quad|:3$
    $x^2+\frac43x-\frac43=0$
    $x_{1.2} = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$
    $x_{1.2} = -\frac{2}{3} \pm\sqrt{(\frac23)^2+\frac43}$
    $x_{1.2} = -\frac{2}{3} \pm\sqrt{\frac{16}{9}}$
    $x_{1.2} = -\frac{2}{3} \pm\frac43$
    $x_{E_{1}}=\color{blue}{-2} \quad x_{E_{2}}=\color{green}{\frac23}$

  3. Подставьте нули во вторую производную

    Мы используем только что определенные места экстремумов во второй производной.
    $f''(x)=6x+4$

    $f''(\color{blue}{-2})=6\cdot\color{blue}{-2}+4=-8<0$
    => Максимальное значение находится в положении $x=-2$
    $f''(\color{green}{\frac23})=6\cdot\color{green}{\frac23}+4=8>0$
    => Минимальное значение находится в положении $x=\frac23$

    Справка: Вычисленные значения $8$ и $-8$ были нужны только для определения максимум это или минимум. Они больше нам не понадобятся.

  4. Определите экстремумы

    Точки максимумов и минимумов должны быть определены: поэтому вычислите координату y с исходной функцией.

    $f(\color{blue}{-2})$ $=(\color{blue}{-2})^3+2\cdot(\color{blue}{-2})^2-4\cdot(\color{blue}{-2})-8$ $=0$
    => Точка максимума: $H(\color{blue}{-2}|0)$

    $f(\color{green}{\frac23})$ $=(\color{green}{\frac23})^3+2\cdot(\color{green}{\frac23})^2-4\cdot\color{green}{\frac23}-8$ $ \approx-9.48$
    => Точка минимума: $T(\color{green}{\frac23}|-9.48)$