Mathe Flächenberechnung mit Integralen Teilflächen zwischen Funktionsgraphen

Teilflächen zwischen Funktionsgraphen

Ein Sonderfall bei der Berechnung der Fläche zwischen Funktionsgraphen ist, wenn die Fläche durch einen Schnittpunkt in mehrere Teilflächen zerfällt.

eingeschlossene Teilflächen zwischen zwei Funktionsgraphen mit Schnittpunkt

Zum Bild: Die Fläche $A_1$ liegt unterhalb von $f$ und oberhalb von $g$. Die Fläche $A_2$ hingegen liegt oberhalb von $f$ und unterhalb von $g$.
Aufgrund des Wechsels müssen die Flächen einzeln berechnet werden.

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Merke

Falls eine Funktion im gesamten Intervall nicht durchweg größer ist als die andere, muss man die Teilflächen einzeln berechnen und dann addieren.
Das tritt ein, wenn die Funktionen innerhalb des Intervalls einen Schnittpunkt besitzen.
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Vorgehensweise

  1. Schnittstellen ermitteln und Intervalle bilden
  2. Differenzenfunktion bilden
  3. Bestimmte Integrale für die einzelnen Intervalle berechnen
  4. Flächeninhalt bestimmen

Beispiel

Berechne die von den Graphen der Funktionen $f(x)=\frac16x^3-x$ und $g(x)=-\frac16x^3+\frac13x^2+x$ eingeschlossene Fläche.


Tipp: Eingeschlossene Fläche bedeutet die Fläche zwischen den äußeren Schnittpunkten.
  1. Schnittstellen berechnen

    Funktionen gleichsetzen, um Schnittstellen zu berechnen.
    $f(x)=g(x)$

    $\frac16x^3-x=-\frac16x^3+\frac13x^2+x$
    $\frac13x^3-\frac13x^2-2x=0$
    $x\cdot(\frac13x^2-\frac13x-2)=0$

    $x_{S_1}=0$

    $\frac13x^2-\frac13x-2=0\quad|\cdot3$
    $x^2-x-6=0$
    (Quadratische Gleichung lösen, z.B. PQ-Formel)
    $x_{S_{2,3}}=\frac12\pm\sqrt{(\frac12)^2+6}$
    $x_{S_2}=-2$ und $x_{S_3}=3$
  2. Intervalle bilden

    $x_{S_1}=0$ liegt zwischen den beiden anderen Schnittpunkten und teilt die Fläche in zwei Teilstücke, welche einzeln berechnet werden müssen.
    $x_{S_1}=0$, $x_{S_2}=-2$ und $x_{S_3}=3$

    $A_1$ über $[-2;0]$
    $A_2$ über $[0;3]$
  3. Differenzenfunktion

    $g(x)$ von $f(x)$ subtrahieren, zusammengefassen und Stammfunktion bilden.
    $f(x)=\frac16x^3-x$
    $g(x)=-\frac16x^3+\frac13x^2+x$

    $h(x)=f(x)-g(x)$ $=(\frac16x^3-x)-$ $(-\frac16x^3+\frac13x^2+x)$ $=\frac13x^3-\frac13x^2-2x$

    $H(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac19x^3-x^2$
  4. Bestimmte Integrale aufstellen und berechnen

    Für beide Intervalle muss nun jeweils ein Integral aufgestellt und berechnet werden.
    $\int_a^b (f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x$ $=\int_a^b h(x)\,\mathrm{d}x$ $= [H(x) + C]_a^b$ $= H(b) - H(a)$

    $A_1$ über $[-2;0]$
    $\int_{-2}^0 (\frac13x^3-\frac13x^2-2x)\,\mathrm{d}x$ $=[\frac{1}{12}x^4-\frac19x^3-x^2]_{-2}^0$ $=0-(\frac{1}{12}\cdot(-2)^4-\frac19\cdot(-2)^3-(-2)^2)$
    $=0-(-\frac{16}{9})$ $=\frac{16}{9}$

    $A_2$ über $[0;3]$
    $\int_0^3 (\frac13x^3-\frac13x^2-2x)\,\mathrm{d}x$ $=[\frac{1}{12}x^4-\frac19x^3-x^2]_0^3$ $=(\frac{1}{12}\cdot3^4-\frac19\cdot3^3-3^2)-0$
    $=(-\frac{21}{4})-0$ $=-\frac{21}{4}$
  5. Flächeninhalt bestimmen

    Jetzt müssen die Inhalte der Flächenstücke bestimmt und dann addiert werden.
    $A_1$ $=\int_{-2}^0 (\frac13x^3-\frac13x^2-2x)\,\mathrm{d}x$ $=\frac{16}{9}$
    $A_2$ $=|\int_0^3 (\frac13x^3-\frac13x^2-2x)\,\mathrm{d}x|$ $=|-\frac{21}{4}|$ $=\frac{21}{4}$

    $A=A_1+A_2$ $=\frac{16}{9}+\frac{21}{4}\approx7,03$