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Flächenberechnung

Bei Funktionen ohne Vorzeichenwechsel im Intervall $[a; b]$ entspricht der Flächeninhalt dem Betrag des bestimmten Integrals:

$A=|\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x|$
i

Tipp

Hier wurde bereits beschrieben, dass die Fläche unterhalb der x-Achse beim bestimmten Integral negativ eingeht.

Da es keinen negativen Flächeninhalt gibt, muss man bei der Berechnung von Flächen unter der x-Achse noch das Vorzeichen wechseln.

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion $f(x)=x^2-6x+6$ und der x-Achse über dem Intervall $[2; 4]$

Negative Fläche ohne Vorzeichenwechsel

  1. Bestimmtes Integral

    Das bestimmte Integral mit den gegeben Integrationsgrenzen aufstellen
    $\int_2^4 (x^2-6x+6)\,\mathrm{d}x$

  2. Integral berechnen

    Jetzt das Integral berechnen. Dazu vorher Stammfunktion bilden.
    $\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x$ $= [F(x) + C]_a^b$ $= F(b) - F(a)$

    $F(x)=\frac13x^3-3x^2+6x$

    $\int_2^4 (x^2-6x+6)\,\mathrm{d}x$ $=[\frac13x^3-3x^2+6x]_2^4$ $=(\frac13\cdot4^3-3\cdot4^2+6\cdot4)-$ $(\frac13\cdot2^3-3\cdot2^2+6\cdot2)$
    $=-\frac83-\frac83$ $=-\frac{16}3$

  3. Flächeninhalt bestimmen

    Die Skizze des Graphen zeigt, dass die Funktion im Intervall $[2; 4]$ negativ ist. Daher muss das Vorzeichen noch gewechselt werden
    $A=|\int_2^4 f(x)\,\mathrm{d}x|$ $=|-\frac{16}3|$ $=\frac{16}3$ $\approx5,33$

Flächenberechnung: Fläche ohne Vorzeichenwesel (VZW), Integralrechnung, bestimmtes Integral

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Beim bestimmten Integral gehen die Flächenstücke, welche oberhalb der x-Achse liegen, positiv und, die unterhalb, negativ ein.

Wenn die Funktion keine Nullstellen im gegebenen Intervall aufweist, lässt sich der Flächeinhalt $A$ im Bereich von $a$ bis $b$ ohne weitere Intervallaufteilung mit dem Betrag bestimmen:

$A=\left|\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\right|$
  1. Überprüfe, dass sich keine Nullstellen von $f$ im Intervall $[a;b]$ befinden
  2. Bestimme die Stammfunktion $F$
  3. Nutze die Stammfunktion und den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um das bestimmte Integral auszurechnen: $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$
  4. Beachte, dass der Flächeninhalt nur positiv sein kann