Teilflächen zwischen Funktionsgraphen

Ein Sonderfall bei der Berechnung der Fläche zwischen Funktionsgraphen ist, wenn die Fläche durch einen Schnittpunkt in mehrere Teilflächen zerfällt.

Zum Bild: Die Fläche $A_1$ liegt unterhalb von $f$ und oberhalb von $g$. Die Fläche $A_2$ hingegen liegt oberhalb von $f$ und unterhalb von $g$.
Aufgrund des Wechsels müssen die Flächen einzeln berechnet werden.

Beispiel

Berechne die von den Graphen der Funktionen $f(x)=\frac16x^3-x$ und $g(x)=-\frac16x^3+\frac13x^2+x$ eingeschlossene Fläche.

1. Schnittstellen berechnen

   Funktionen gleichsetzen, um Schnittstellen zu berechnen.
   $f(x)=g(x)$
   
   $\frac16x^3-x=-\frac16x^3+\frac13x^2+x$
   $\frac13x^3-\frac13x^2-2x=0$
   $x\cdot(\frac13x^2-\frac13x-2)=0$
   
   $x_{S_1}=0$
   
   $\frac13x^2-\frac13x-2=0\quad|\cdot3$
   $x^2-x-6=0$
   (Quadratische Gleichung lösen, z.B. PQ-Formel)
   $x_{S_{2,3}}=\frac12\pm\sqrt{(\frac12)^2+6}$
   $x_{S_2}=-2$ und $x_{S_3}=3$

2. Intervalle bilden

   $x_{S_1}=0$ liegt zwischen den beiden anderen Schnittpunkten und teilt die Fläche in zwei Teilstücke, welche einzeln berechnet werden müssen.
   $x_{S_1}=0$, $x_{S_2}=-2$ und $x_{S_3}=3$
   
   $A_1$ über $[-2;0]$
   $A_2$ über $[0;3]$

3. Differenzenfunktion

   $g(x)$ von $f(x)$ subtrahieren, zusammengefassen und Stammfunktion bilden.
   $f(x)=\frac16x^3-x$
   $g(x)=-\frac16x^3+\frac13x^2+x$
   
   $h(x)=f(x)-g(x)$ $=(\frac16x^3-x)-$ $(-\frac16x^3+\frac13x^2+x)$ $=\frac13x^3-\frac13x^2-2x$
   
   $H(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac19x^3-x^2$

4. Bestimmte Integrale aufstellen und berechnen

   Für beide Intervalle muss nun jeweils ein Integral aufgestellt und berechnet werden.
   $\int_a^b (f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x$ $=\int_a^b h(x)\,\mathrm{d}x$ $= [H(x) + C]_a^b$ $= H(b) - H(a)$
   
   $A_1$ über $[-2;0]$
   $\int_{-2}^0 (\frac13x^3-\frac13x^2-2x)\,\mathrm{d}x$ $=[\frac{1}{12}x^4-\frac19x^3-x^2]_{-2}^0$ $=0-(\frac{1}{12}\cdot(-2)^4-\frac19\cdot(-2)^3-(-2)^2)$
   $=0-(-\frac{16}{9})$ $=\frac{16}{9}$
   
   $A_2$ über $[0;3]$
   $\int_0^3 (\frac13x^3-\frac13x^2-2x)\,\mathrm{d}x$ $=[\frac{1}{12}x^4-\frac19x^3-x^2]_0^3$ $=(\frac{1}{12}\cdot3^4-\frac19\cdot3^3-3^2)-0$
   $=(-\frac{21}{4})-0$ $=-\frac{21}{4}$

5. Flächeninhalt bestimmen

   Jetzt müssen die Inhalte der Flächenstücke bestimmt und dann addiert werden.
   $A_1$ $=\int_{-2}^0 (\frac13x^3-\frac13x^2-2x)\,\mathrm{d}x$ $=\frac{16}{9}$
   $A_2$ $=|\int_0^3 (\frac13x^3-\frac13x^2-2x)\,\mathrm{d}x|$ $=|-\frac{21}{4}|$ $=\frac{21}{4}$
   
   $A=A_1+A_2$ $=\frac{16}{9}+\frac{21}{4}\approx7,03$