Соприкосновение кривых

Соприкосновение кривых (точка соприкосновения) - общая точка двух графиков функций, где обе функции имеют одинаковую касательную (одинаковый наклон).

Пример

Определите точку соприкосновения функции $f(x)=x^2$ и $g(x)=-x^2+4x-2$.

1. Возьмем производные

   $f(x)=x^2$
   $f'(x)=2x$
   
   $g(x)=-x^2+4x-2$
   $g'(x)=-2x+4$

2. Приравниваем уравнения функции

   Первое условие: Обе функции должны иметь общую точку.
   $f(x_C)=g(x_C)$
   $x^2=-x^2+4x-2\quad|-x^2$
   $-2x^2+4x-2=0\quad|:(-2)$
   $x^2-2x+1=0$
   
   Это квадратное уравнение, которое можно решить, к примеру, используя PQ формулу.
   $x_{C_{1,2}} = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$
   $x_{C_{1,2}} = 1 \pm\sqrt{1-1}$
   $x_C=\color{red}{1}$

3. Проверим наклон

   Второе условие: Обе функции должны иметь одинаковый наклон в точке.
   $f'(x_C)=g'(x_C)$
   $f'(\color{red}{1})=g'(\color{red}{1})$
   $2\cdot\color{red}{1}=-2\cdot\color{red}{1}+4$
   $2=2$
   => Функции соприкасаются в точке $x_C=1$

4. Определим точку соприкосновения

   Точка соприкосновения должна быть определена: Поэтому, высчитываем y-координату с координатой основных функций.
   
   $f(\color{red}{1})=\color{red}{1}^2=\color{blue}{1}$
   => Точка соприкосновения: $C(\color{red}{1}|\color{blue}{1})$