Интегрирование/Интеграция
Формирование первообразной из заданной функции называется, интегрированием или интеграцией
Правила интеграции
Аналогично правилам дифференцирования, существуют также правила интеграции при интегрировании неопределенных интегралов.
| правило константы, степени и постоянного фактора | ||
| $\int k\,\mathrm{d}x=kx+C$ | ||
| $\int x^n \,\mathrm{d}x=$ $\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ | ||
| $\int a \cdot g(x) \, \mathrm{d}x =$ $ a \cdot \int g(x) \, \mathrm{d}x$ | ||
| правило сумм | ||
| $\int f(x)+g(x) \, \mathrm{d}x =$ $\int f(x) \, \mathrm{d}x + \int g(x) \, \mathrm{d}x$ | ||
| интегрирование по частям | ||
| $\int f(x) g'(x) \, \mathrm{d}x =$ $f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) \, \mathrm{d}x$ | ||
| интегрирование путем линейной подстановки | ||
| $\int f(mx+n) \, \mathrm{d}x=$ $\frac1m F(mx+n)+C$ | ||
Важные интегралы
Вот, некоторые важные интегралы элементарных функций, для того, чтобы избежать сложного вывода.
i
Подсказка
Хорошо бы запомнить эти первообразные, так как они чаще всего встречаются в упражнениях.
| Функция f(x) | Первообразная F(x) | |
|---|---|---|
| степенные и функции корня | ||
| $f(x)=x^n$ | $\int x^n \,\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ | |
| $f(x)=x^{-1}=\frac1x$ | $\int \frac1x \,\mathrm{d}x=\ln|x|+C$ | |
| $f(x)=\sqrt{x}$ | $\int \sqrt{x} \,\mathrm{d}x=\frac23\sqrt{x^3}+C$ | |
| функции синуса и косинуса | ||
| $f(x)=\sin(x)$ | $\int \sin(x) \,\mathrm{d}x=$ $-\cos(x)+C$ | |
| $f(x)=\cos(x)$ | $\int \cos(x) \,\mathrm{d}x=$ $\sin(x)+C$ | |
| экспоненциальные функции | ||
| $f(x)=a^x$ | $\int a^x \,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln(a)}+C$ | |
| $f(x)=e^x$ | $\int e^x \,\mathrm{d}x=e^x+C$ | |