Математика Правила интегрирования Интегрирование методом линейной замены (способ подстановки)

Интегрирование методом линейной замены (способ подстановки)

При интегрировании cложных функций вида $f(g(x))$ с линейной внутренней функцией, используется интегрирование путем линейной подстановки.:

$\int f(mx+n) \, \mathrm{d}x$ $=\frac1m F(mx+n)+C$
!

Запомни

Интегрирование методом замены переменной (способ подстановки) может использоваться только если внутренняя функция $g(x)$ является линейной функцией (например: $g(x)=mx+n$).

$f(g(x))$ $=f(mx+n)$
i

Подсказка

В дополнение к интегрированию с помощью линейной подстановки существует интегрирование с помощью нелинейной подстановки для скольки угодно сложных функций.

Линейная подстановка на самом деле является лишь частным случаем общей подстановки, но она достаточна для большинства задач.

Примеры

$\int (2x+4)^2 \, \mathrm{d}x$

  1. Разобьем функцию на подфункции

    $f(x)=x^2$ и $g(x)=\color{red}{2}x+4$

    $\color{red}{m=2}$
  2. Интегрируем $f(x)$

    Применяется закон степеней
    $F(x)=\color{blue}{\frac13}x\color{blue}{^3}$
  3. Подставим

    $\int f(mx+n) \, \mathrm{d}x$ $=\frac{1}{\color{red}{m}} \cdot\color{blue}{F}(mx+n)+C$

    $\int (2x+4)^2 \, \mathrm{d}x$ $=\frac{1}{\color{red}{2}} \cdot \color{blue}{\frac13}(2x+4)^\color{blue}{3}+C$ $=\frac16(2x+4)^3+C$

$\int e^{2x} \, \mathrm{d}x$

  1. Разобьем функцию на подфункции

    $f(x)=e^x$ и $g(x)=\color{red}{2}x$

    $\color{red}{m=2}$
  2. Интегрируем $f(x)$

    Применяется закон степеней
    $F(x)=\color{blue}{e}^x$
  3. Подставим

    $\int f(mx+n) \, \mathrm{d}x$ $=\frac{1}{\color{red}{m}} \cdot\color{blue}{F}(mx+n)+C$

    $\int e^{2x} \, \mathrm{d}x$ $=\frac{1}{\color{red}{2}} \cdot \color{blue}{e}^{2x}+C$
i

Подсказка

Для показательных функций (второй пример) существует "трюк", чтобы решить интеграл еще быстрее:

Первообразная показательной функции с линейной внутренней функцией получается путем деления на производную внутренней функции.

$\int e^{g(x)} \, \mathrm{d}x=\frac{e^{g(x)}}{g'(x)}+C$
Пример: $\int e^{2x} \, \mathrm{d}x=\frac{e^{2x}}{2}+C$