Интегрирование методом линейной замены (способ подстановки)
При интегрировании cложных функций вида $f(g(x))$ с линейной внутренней функцией, используется интегрирование путем линейной подстановки.:
$\int f(mx+n) \, \mathrm{d}x$ $=\frac1m F(mx+n)+C$
!
Запомни
Интегрирование методом замены переменной (способ подстановки) может использоваться только если внутренняя функция $g(x)$ является линейной функцией (например: $g(x)=mx+n$).
$f(g(x))$ $=f(mx+n)$
$f(g(x))$ $=f(mx+n)$
i
Подсказка
В дополнение к интегрированию с помощью линейной подстановки существует интегрирование с помощью нелинейной подстановки для скольки угодно сложных функций.
Линейная подстановка на самом деле является лишь частным случаем общей подстановки, но она достаточна для большинства задач.
Линейная подстановка на самом деле является лишь частным случаем общей подстановки, но она достаточна для большинства задач.
Примеры
$\int (2x+4)^2 \, \mathrm{d}x$
-
Разобьем функцию на подфункции
$f(x)=x^2$ и $g(x)=\color{red}{2}x+4$
$\color{red}{m=2}$ -
Интегрируем $f(x)$
Применяется закон степеней
$F(x)=\color{blue}{\frac13}x\color{blue}{^3}$ -
Подставим
$\int f(mx+n) \, \mathrm{d}x$ $=\frac{1}{\color{red}{m}} \cdot\color{blue}{F}(mx+n)+C$
$\int (2x+4)^2 \, \mathrm{d}x$ $=\frac{1}{\color{red}{2}} \cdot \color{blue}{\frac13}(2x+4)^\color{blue}{3}+C$ $=\frac16(2x+4)^3+C$
$\int e^{2x} \, \mathrm{d}x$
-
Разобьем функцию на подфункции
$f(x)=e^x$ и $g(x)=\color{red}{2}x$
$\color{red}{m=2}$ -
Интегрируем $f(x)$
Применяется закон степеней
$F(x)=\color{blue}{e}^x$ -
Подставим
$\int f(mx+n) \, \mathrm{d}x$ $=\frac{1}{\color{red}{m}} \cdot\color{blue}{F}(mx+n)+C$
$\int e^{2x} \, \mathrm{d}x$ $=\frac{1}{\color{red}{2}} \cdot \color{blue}{e}^{2x}+C$
i
Подсказка
Для показательных функций (второй пример) существует "трюк", чтобы решить интеграл еще быстрее:
Первообразная показательной функции с линейной внутренней функцией получается путем деления на производную внутренней функции.
$\int e^{g(x)} \, \mathrm{d}x=\frac{e^{g(x)}}{g'(x)}+C$
Пример: $\int e^{2x} \, \mathrm{d}x=\frac{e^{2x}}{2}+C$
Первообразная показательной функции с линейной внутренней функцией получается путем деления на производную внутренней функции.
$\int e^{g(x)} \, \mathrm{d}x=\frac{e^{g(x)}}{g'(x)}+C$
Пример: $\int e^{2x} \, \mathrm{d}x=\frac{e^{2x}}{2}+C$