Lineare Substitutionsregel
Beim Integrieren verketteter Funktionen der Form $f(g(x))$ mit einer linearen inneren Funktion nutzt man die lineare Substitutionsregel:
$\int f(mx+n) \, \mathrm{d}x$ $=\frac1m F(mx+n)+C$
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Merke
Die lineare Substitutionsregel darf nur angewendet werden, wenn die innere Funktion $g(x)$ eine lineare Funktion ist, also: $g(x)=mx+n$.
$f(g(x))$ $=f(mx+n)$
$f(g(x))$ $=f(mx+n)$
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Tipp
Neben der Integration durch lineare Substitution (lineare Substitutionsregel), gibt es für beliebig verkettete Funktionen die Integration durch nichtlineare Substitution.
Die lineare Substitution ist eigentlich nur ein Spezialfall der allgemeinen Substitution, jedoch reicht sie für die meisten Aufgaben aus.
Die lineare Substitution ist eigentlich nur ein Spezialfall der allgemeinen Substitution, jedoch reicht sie für die meisten Aufgaben aus.
Beispiele
$\int (2x+4)^2 \, \mathrm{d}x$
-
Funktion in Teilfunktionen zerlegen
$f(x)=x^2$ und $g(x)=\color{red}{2}x+4$
$\color{red}{m=2}$ -
$f(x)$ integrieren
Anwenden der Potenzregel
$F(x)=\color{blue}{\frac13}x\color{blue}{^3}$ -
Einsetzen
$\int f(mx+n) \, \mathrm{d}x$ $=\frac{1}{\color{red}{m}} \cdot\color{blue}{F}(mx+n)+C$
$\int (2x+4)^2 \, \mathrm{d}x$ $=\frac{1}{\color{red}{2}} \cdot \color{blue}{\frac13}(2x+4)^\color{blue}{3}+C$ $=\frac16(2x+4)^3+C$
$\int e^{2x} \, \mathrm{d}x$
-
Funktion in Teilfunktionen zerlegen
$f(x)=e^x$ und $g(x)=\color{red}{2}x$
$\color{red}{m=2}$ -
$f(x)$ integrieren
Anwenden der Potenzregel
$F(x)=\color{blue}{e}^x$ -
Einsetzen
$\int f(mx+n) \, \mathrm{d}x$ $=\frac{1}{\color{red}{m}} \cdot\color{blue}{F}(mx+n)+C$
$\int e^{2x} \, \mathrm{d}x$ $=\frac{1}{\color{red}{2}} \cdot \color{blue}{e}^{2x}+C$
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Tipp
Bei e-Funktionen (zweites Beispiel) gibt es einen "Trick", um das Integral noch schneller zu lösen:
Die Stammfunktion einer e-Funktion mit linearer innerer Funktion bekommt man, indem man durch die Ableitung der inneren Funktion teilt.
$\int e^{g(x)} \, \mathrm{d}x=\frac{e^{g(x)}}{g'(x)}+C$
Beispiel: $\int e^{2x} \, \mathrm{d}x=\frac{e^{2x}}{2}+C$
Die Stammfunktion einer e-Funktion mit linearer innerer Funktion bekommt man, indem man durch die Ableitung der inneren Funktion teilt.
$\int e^{g(x)} \, \mathrm{d}x=\frac{e^{g(x)}}{g'(x)}+C$
Beispiel: $\int e^{2x} \, \mathrm{d}x=\frac{e^{2x}}{2}+C$