Partielle Integration

Die partielle Integration ist eine Methode zum Integrieren von einem Produkt. Sie ist die Umkehrung der Produktregel der Differenzialrechnung und besagt:

$\int f(x)\cdot g'(x) \, \mathrm{d}x =$ $f(x)\cdot g(x) - \int f'(x)\cdot g(x) \, \mathrm{d}x$

Tipp

Man nutzt die partielle Integration häufig, wenn das Integral ein Produkt aus zwei Funktionen ist, von denen eine leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist.

Beachte

Das neue Integral $\int f'(x)\cdot g(x)$ sollte nicht schwerer sein als das davor.
Man sollte für $f(x)$ also einen Faktor nehmen, der abgeleitet das Integral vereinfacht.

Vorgehensweise

$f(x)$ und $g'(x)$ bestimmen
$f'(x)$ berechnen: $f(x)$ ableiten
$g(x)$ berechnen: $g'(x)$ integrieren
Einsetzen und Integral lösen

Beispiel

Löse das Integral $\int x\cdot\cos(x) \, \mathrm{d}x$ mit partieller Integration.

$f(x)$ und $g'(x)$ bestimmen
$f(x)=x$
$g'(x)=\cos(x)$
Grund: $x$ ist abgeleitet 1, was das Integral vereinfacht.
$f'(x)$ berechnen: $f(x)$ ableiten
$f(x)=x$
$f'(x)=\color{blue}{1}$
$g(x)$ berechnen: $g'(x)$ integrieren
$g'(x)=\cos(x)$
$g(x)=\color{green}{\sin(x)}$
Tipp: Die Stammfunktion von $\cos(x)$ und einiger anderer elementarer Funktionen sollte man sich merken.
Einsetzen und Integral lösen
Zuerst wird $f'(x)$ und $g(x)$ eingesetzt:
$\int f(x)\cdot g'(x) \, \mathrm{d}x$ $=f(x)\cdot \color{green}{g(x)} - \int \color{blue}{f'(x)}\cdot \color{green}{g(x)} \, \mathrm{d}x$

$\int x\cdot\cos(x) \, \mathrm{d}x$ $=x\cdot\color{green}{\sin(x)} - \int \color{blue}{1}\cdot\color{green}{\sin(x)} \, \mathrm{d}x$
$=x\cdot\sin(x) - \color{red}{\int \sin(x) \, \mathrm{d}x}$

Jetzt muss das Integral gelöst werden.
$\color{red}{\int \sin(x)\, \mathrm{d}x}=-\cos(x)$

Gelöstes Integral einfügen:
$\int x\cdot\cos(x) \, \mathrm{d}x$ $=x\cdot\sin(x) - (-\cos(x))$ $=x\cdot\sin(x)+\cos(x)\color{purple}{+C}$

Tipp

Wenn es sich wie hier um ein unbestimmtes Integral handelt, muss am Ende noch die Integrationskonstante $\color{purple}{C}$ gesetzt werden.