Константа, правило постоянного множителя

i

Справка

Не забудьте установить константу интегрирования $\color{purple}{C}$ в конце неопределенных интегралов.

Константы

Если в интеграле только одна константа $k$, то интеграл:

$\int k\,\mathrm{d}x=kx+C$

Примеры

$\int \color{red}{2}\,\mathrm{d}x=\color{red}{2}x\color{purple}{+C}$
$\int \color{red}{5}\,\mathrm{d}x=\color{red}{5}x\color{purple}{+C}$

Правило степеней

Интеграл степенной функции вида $x^n$:

$\int x^n \,\mathrm{d}x=$ $\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$

!

Справка

$n$ может быть любым действительным числом, за исключением -1, в противном случае число делится на 0.

$n\in\mathbb{R}\backslash\{-1\}$

Примеры

$\int x^\color{red}{3} \, \mathrm{d}x $ $= \frac{1}{\color{red}{3}+1}x^{\color{red}{3}+1} $ $= \frac{1}{4}x^{4}\color{purple}{+C}$

$\int x^\color{red}{-2} \, \mathrm{d}x $ $= \frac{1}{\color{red}{-2}+1}x^{\color{red}{-2}+1} $ $= -x^{-1} \color{purple}{+C}$

Правило постоянного множителя

Постоянный множитель может быть отделен от подынтегрального выражения и, вместо этого, умножен на интеграл.

$\int a \cdot g(x) \, \mathrm{d}x =$ $ a \cdot \int g(x) \, \mathrm{d}x$

Примеры

Здесь применяются правило постоянного множителя:

$\int\color{red}{4}x^3 \, \mathrm{d}x$ $=\color{red}{4}\cdot \int x^\color{blue}{3} \,\mathrm{d}x$ $=4\cdot\frac{1}{\color{blue}{3}+1}x^{\color{blue}{3}+1}$ $=x^4\color{purple}{+C}$

$\int\color{red}{-3}x \, \mathrm{d}x$ $=\color{red}{-3}\cdot \int x^\color{blue}{1} \,\mathrm{d}x$ $=-3\cdot\frac{1}{\color{blue}{1}+1}x^{\color{blue}{1}+1}$ $=-\frac32x^2\color{purple}{+C}$

!

Справка

Важно указать, какая переменная интегрируется.

Пример:
$\int 3\,\color{red}{\mathrm{d}y}=3\color{red}{y}+C$