Расширение и сокращение дробей

Запомните

Если вы расширяете или сокращаете, значение дроби не меняется. Вы только изменяете вид.

Расширение

Дробь расширяется при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число (за исключением 0). К примеру:

$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}\quad$ ($c\neq 0$)

Запомните

Для общей суммы в числителе или знаменателе, все слагаемые должны быть умножены на одинаковый коэффициент.

Например: $\frac{2+3}{8}=\frac{(2+3)\cdot\color{red}{5}}{8\cdot\color{red}{5}}=\frac{10+15}{40}=\frac{25}{40}$

Примеры

Расширение дроби с $4$
$\frac12=\frac{1\cdot4}{2\cdot4}=\frac48$

Расширение дроби с $3$
$\frac{12-4}{3+1}=\frac{(12-4)\cdot3}{(3+1)\cdot3}=\frac{36-12}{9+3}=\frac{24}{12}$

Расширение алгебраической дроби с $2x$
$\frac{2y}{4x}=\frac{2y\cdot2x}{4x\cdot2x}=\frac{4xy}{8x^2}$

Сокращение

Дробь сокращается путем деления числителя и знаменателя на одно и то же число (за исключением 0). К примеру:

$\frac{a\cdot \rlap{\backslash}c}{b\cdot \rlap{\backslash}c}=\frac{a}{b}$

Запомните

Нельзя сокращать суммы.

Например: $\frac{2+3}{8+3}$ Сокращение будет неверным здесь!

В математике принято сокращать дроби настолько, насколько это возможно. Говорится, что дроби сокращены.

Подсказка

Разделите числитель и знаменатель на простые множители
Уберите множители, которые находятся и в числителе, и в знаменателе

Примеры

Сократите дробь насколько это возможно.

$\frac{16}{40}=\frac{2\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}2}{5\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}2}=\frac25$

Однако, если вы сразу видете, что числитель и знаменатель делятся на 8, вы также можете воспользоваться следующим вариантом, например:
$\frac{16}{40}=\frac{2\cdot\rlap{\backslash}8}{5\cdot\rlap{\backslash}8}=\frac25$

$\frac{4+3}{1+3}=\frac{7}{4}=\text{Сокращение невозможно!}$

$\frac{4x}{6x}=\frac{2\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}x}{3\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}x}=\frac23$