Erweitern und Kürzen

Merke

Sowohl beim Erweitern als auch beim Kürzen ändert sich der Wert des Bruches nicht. Man ändert lediglich die Form.

Erweitern

Ein Bruch wird erweitert, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl (außer 0) multipliziert. Allgemein gilt:

$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}\quad$ ($c\neq 0$)

Beachte

Bei Summen im Zähler oder Nenner müssen alle Summanden mit dem gleichen Erweiterungsfaktor $c$ multipliziert werden.

Beispiel: $\frac{2+3}{8}=\frac{(2+3)\cdot\color{red}{5}}{8\cdot\color{red}{5}}=\frac{10+15}{40}=\frac{25}{40}$

Beispiele

Erweitere den Bruch mit $4$
$\frac12=\frac{1\cdot4}{2\cdot4}=\frac48$

Erweitere den Bruch mit $3$
$\frac{12-4}{3+1}=\frac{(12-4)\cdot3}{(3+1)\cdot3}=\frac{36-12}{9+3}=\frac{24}{12}$

Erweitere den Bruchterm mit $2x$
$\frac{2y}{4x}=\frac{2y\cdot2x}{4x\cdot2x}=\frac{4xy}{8x^2}$

Kürzen

Ein Bruch wird gekürzt, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl (außer 0) dividert. Allgemein gilt:

$\frac{a\cdot \rlap{\backslash}c}{b\cdot \rlap{\backslash}c}=\frac{a}{b}$

Beachte

Das Kürzen von Summen ist nicht erlaubt.

Beispiel: $\frac{2+3}{8+3}$ Kürzen wäre hier falsch!

In der Mathematik ist es üblich, Brüche so weit wie möglich zu kürzen. Man sagt die Brüche werden vollständig gekürzt.

Vorgehensweise

Zähler und Nenner in Primfaktoren zerlegen
Faktoren, die im Zähler und Nenner sind, streichen

Beispiele

Kürze den Bruch/Bruchterm soweit wie möglich

$\frac{16}{40}=\frac{2\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}2}{5\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}2}=\frac25$

Wer jedoch sofort sieht, dass Zähler und Nenner durch 8 teilbar sind kann zum Beispiel auch folgende Variante benutzen:
$\frac{16}{40}=\frac{2\cdot\rlap{\backslash}8}{5\cdot\rlap{\backslash}8}=\frac25$

$\frac{4+3}{1+3}=\frac{7}{4}=\text{Kürzen nicht möglich!}$

$\frac{4x}{6x}=\frac{2\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}x}{3\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}x}=\frac23$

So einfach gehts: Brüche Kürzen und Erweitern - so gehts! mit Beispielen

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