Точка в треугольнике или параллелограмме

Вы также можете проверить, находится ли точка в треугольнике или в параллелограмме. Однако это работает только с параметрической формой.

Параметрическое уравнение составляется с использованием двух векторов, которые составляют треугольник или параллелограмм.

С треугольником ABC:

И с параллелограммом ABCD :

Например

Находится ли точка $P(-0.5|1|1)$ в треугольнике ABC с $A(0|1|0)$, $B(0|0|2)$ и $C(-2|2|2)$?

1. Составьте параметрическое уравнение

   Параметрическое уравнение составляется с тремя точками треугольника.

   $\text{E: } \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB}$ $+ s \cdot \vec{AC}$

   $\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ $+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

2. Вставьте точку

   Вектор положения $P$ используется для $\vec{x}$ в $E$.

   $\begin{pmatrix} -0.5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ $+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

   Теперь мы составляем систему уравнений и решаем ее. Каждая строка-это уравнение.
   1. $-0.5=-2s$
   2. $1=1-r+s$
   3. $1=2r+2s$

   Из I. получается $s=\frac14$, который используется в II.

   $1=1-r+\frac14\quad|-1$
   $0=-r+\frac14\quad|+r$
   $r=\frac14$

   $r$ и $s$ вставьте в III.

   $1=2\cdot\frac14+2\cdot\frac14$
   $1=1$

   => Точка лежит на плоскости

3. Проверьте условия

   Чтобы выяснить, лежит ли точка в треугольнике, необходимо проверить условия для $r$ и $s$ .
   
   
   1. $0\le \frac14\le1$
   2. $0\le \frac14\le1$
   3. $0\le \frac14+\frac14 \le1$

   Действуют все условия.
   => P лежит в треугольнике ABC.