Kettenregel
Die Kettenregel muss bei der Ableitung von verketteten Funktionen angewendet werden. Eine verkettete Funktion ist eine Funktion einer Funktion.
Merke
$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$
$g(x)$ ist die äußere Funktion.
$g'(x)$ ist die äußere Ableitung.
$h(x)$ ist die innere Funktion.
$h'(x)$ ist die innere Ableitung.
Beispiele
$f(x)=(\color{red}{x^3+4})^5$
Funktion in Teilfunktionen zerlegen
$g(x)=x^5$ und $h(x)=\color{red}{x^3+4}$Teilfunktionen ableiten
Anwenden der Potenzregel
$g'(x)=\color{blue}{5}x\color{blue}{^4}$ und $h'(x)=\color{green}{3x^2}$Einsetzen
$f'(x)=\color{blue}{g'}(\color{red}{h(x)})\cdot \color{green}{h'(x)}$
$f'(x)=\color{blue}{5}(\color{red}{x^3+4})^\color{blue}{4}\cdot \color{green}{3x^2}$
$f(x)=\sin(\color{red}{x^5})$
Funktion in Teilfunktionen zerlegen
$g(x)=\sin(x)$ und $h(x)=\color{red}{x^5}$Teilfunktionen ableiten
Ableiten von Sinusfunktion und anwenden der Potenzregel
$g'(x)=\color{blue}{\cos}(x)$ und $h'(x)=\color{green}{5x^4}$Einsetzen
$f'(x)=\color{blue}{g'}(\color{red}{h(x)})\cdot \color{green}{h'(x)}$
$f'(x)=\color{blue}{\cos}(\color{red}{x^5})\cdot \color{green}{5x^4}$
Kettenregel - Ableitungsregeln, Ableiten, Ableiten, verkettete Funktion ableiten
Häufig sind Funktionen ineinander verschachtelt, sodass eine Funktion ein Teil einer „übergeordneten“ Funktion ist. Solche Fälle werden mit der Kettenregel abgeleitet. Diese besagt vereinfacht:
Das Vorgehen ist für eine Funktion der Form $f(x)=g(h(x))$ immer gleich:
- Teilfunktionen $g(x)$ und $h(x)$ bestimmen
- Teilfunktionen ableiten
- Teilfunktionen und Ableitungen in die Formel $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$ einsetzen
Kettenregel: Häufige Beispiele - Ableitungsregel, Ableitung, Ableiten, verkettete Funktion ableiten
Die meisten typischen Beispiele für die Anwendung der Kettenregel finden dabei im Zusammenhang mit Ableitungen elementarer Funktionen statt. Als äußere Funktion findet man also sehr häufig folgende Fälle:
- Potenz- und Wurzelfunktionen: $(h(x))^n$, $\sqrt{h(x)}$
- trigonometrische Funktionen: $\sin(h(x))$, $\cos(h(x))$, $\tan(h(x))$
- e-Funktionen: $e^{h(x)}$
- ln-Funktionen: $\ln(h(x))$
Dies ist natürlich keine vollständige Liste und soll nur einen groben Überblick für beispielhafte äußere Funktionen geben. $h(x)$ ist dabei die innere Funktion.