Kurvendiskussion von e-Funktionen

Auch bei e-Funktionen lässt sich eine Kurvendiskussion durchführen

Beispiel

Untersuche $f(x)=x\cdot e^x$ auf folgende Eigenschaften:

• Nullstellen
• Extrempunkte
• Wendepunkte

1. Ableitungen bestimmen

   Zum Ableiten die Produktregel nutzen.
   

   $f(x)=x\cdot e^x$

   $f'(x)=x\cdot e^x+e^x$ $=e^x(x+1)$
   

   $f''(x)=x\cdot e^x+e^x+e^x$ $=e^x(x+2)$
   

   $f'''(x)=x\cdot e^x+e^x+e^x+e^x$ $=e^x(x+3)$

2. Nullstellen

   Nullstellenberechnung: Funktion gleich Null setzen
   

   $f(x)=0$
   $x\cdot e^x=0$

   Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird.

   $e^x>0$ (kann nie null werden!) und
   $x_N=0$

3. Extrempunkte

   Extrempunkt berechnen: Erste Ableitung gleich Null setzen
   $f'(x)=0$
   $e^x(x+1)=0$

   $e^x>0$ (kann nie null werden!) und
   $x+1=0\quad|-1$
   $x_E=-1$

   extremwertverdächtige Stelle in die zweite Ableitung einsetzen:

   $f''(-1)=e^{-1}>0$ => Tiefpunkt
   
   

   y-Koordinate berechnen und Tiefpunkt angeben:

   $f(-1)$ $=-1\cdot e^{-1}$ $=-e^{-1}$ $\approx-0,37$
   
   $T(-1|-0,37)$

4. Wendepunkte

   Wendepunkt berechnen: Zweite Ableitung gleich Null setzen
   $f''(x)=0$
   $e^x(x+2)=0$
   

   $e^x>0$ (kann nie null werden!) und
   $x+2=0\quad|-2$
   $x_W=-2$

   wendepunktverdächtige Stelle in die dritte Ableitung einsetzen:

   $f'''(-2)=e^{-2}\neq0$ => Wendepunkt
   
   

   y-Koordinate berechnen und Wendepunkt angeben:

   $f(-2)$ $=-2e^{-2}$ $\approx-0,27$
   
   $W(-2|-0,27)$