Steigungswinkel
Mit der Ableitung kann man auch den Steigungswinkel an einer Stelle $x$ bestimmen.
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Merke
Der Steigungswinkel $\alpha$ einer Funktion $f$ an der Stelle $x$ ist:
$\alpha=\arctan(f'(x))$
$\alpha=\arctan(f'(x))$
Beispiel
Berechne den Steigungswinkel der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x=1$.
Stammfunktion: $f(x)=x^2$Ableitung: $f'(x)=2x$
Einsetzen:
$\alpha=\arctan(f'(x))$
$\alpha=\arctan(f'(1))$
$f'(1)=2\cdot1=2$
$\alpha=\arctan(2)\approx63,43°$
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Tipp
Häufig steht bei Taschenrechnern anstelle von $\arctan$ auch $\tan^{-1}$. Beides kommt dabei auf das Gleiche raus.
Steigungswinkel einer Funktion, Steigung, Differenzialrechnung, Ableitung, Winkel, arctan,
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Kennt man die Steigung der Tangenten kann man mit Hilfe der Umkehrfunktion der Tangensfunktion, nämlich dem Arkustangens, auch den Steigungswinkel bestimmen.
Hat man eine Funktion $f$ mit einer Funktionsgleichung und eine Stelle $x$ gegeben, geht man folgendermaßen vor:
- Ableitung $f'$ von $f$ bestimmen
- Steigung bestimmen, indem man $f'(x)$ berechnet
- Steigung $\color{green}{f'(x)}$ in die Formel $\alpha=\arctan(\color{green}{f'(x)})$ einsetzen