Верхняя и нижняя сумма

Интегральное исчисление используется для того, чтобы вычислить площадь в интервале между графиком функции и осью X.

Еще в 260 году до нашей эры, Архимед разработал разбиение интервала, метода который формирует происхождение интегрального исчисления.

Если вы хотите вычислить площадь прямо сейчас, разбейте ее на вертикальные прямоугольники. Есть две возможности:

первое разбиение поверхности называется, нижней суммой и это меньше, чем площадь.

Это и есть верхняя сумма, которая больше, чем фактическая площадь .

$\text{нижняя сумма} \le A \le \text{верхняя сумма}$

Чем меньше устанавливается расстояние между делениями (т. е. чем больше делений), тем более точным становится результат.

$f(x)=x^2$ в интервале $[0; 1]$

Теперь вы можете рассчитать площади прямоугольников (ширина равна $0.25$ и высота, это $x^2$) и получаем следующее:

$s=0.25\cdot (0^2+0.25^2+0.5^2+0.75^2)$ $=\frac{7}{32}$

$S=0.25\cdot (0.25^2+0.5^2+0.75^2+1^2)$ $=\frac{15}{32}$

$\frac{7}{32} \le A \le \frac{15}{32}$

При большем количестве делений, результат становится все более точным. Итак, на ряде из 256 делений:

$0.331\le A\le 0.335$