Математика ↠ Дробные уравнения ↠ Дробные уравнения с несколькими дробями

Дробные уравнения с несколькими дробями

Решение дробного уравнения с несколькими дробями, аналогично решению дробных уравнений с одной дробью. Однако, перед этим дроби должны быть приведены к общему главному знаменателю.

!

Запомните

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, умножьте числитель и знаменатель одной дроби на знаменатели других дробей.
i

Подсказка

Если на каждой стороне уравнения есть только одна дробь, то имеет смысл умножить все уравнение на два знаменателя дроби. Это разбивает условия дроби.

Например

Решите следующее уравнение: $\frac{5x}{3x+15}=\frac{5}{6}$

  1. Определите область функции

    $3x+15=0\quad|-15$
    $3x=-15\quad|:3$
    $x=-5$

    $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash\{-5\}$

  2. Измените уравнение на $x$

    Способ 1
    Приведите обе дроби к общему знаменателю.

    $\frac{5x}{3x+15}=\frac{5}{6}\quad|-\frac{5}{6}$

    $\frac{5x}{\color{blue}{3x+15}}-\frac{5}{\color{green}{6}}=0$
    $\frac{5x}{\color{blue}{3x+15}}\cdot\frac{\color{green}{6}}{\color{green}{6}}-\frac{5}{\color{green}{6}}\cdot\frac{\color{blue}{3x+15}}{\color{blue}{3x+15}}=0$
    $\frac{30x}{6(3x+15)}-\frac{5\cdot(3x+15)}{6(3x+15)}=0$

    $\frac{30x-5\cdot(3x+15)}{6(3x+15)}=0\quad|\cdot6(3x+15)$

    $\frac{30x-5\cdot(3x+15)}{6(3x+15)}\cdot6(3x+15)=0\cdot6(3x+15)$

    $30x-5\cdot(3x+15)=0$
    $30x-15x-75=0$
    $15x-75=0\quad|+75$
    $15x=75\quad|:15$

    $x=5$


    Способ 2 (Смотрите подсказку)
    Для того чтобы решить условия дроби, уравнение умножается на знаменатели дробей.

    $\frac{5x}{3x+15}=\frac{5}{6}\quad|\cdot6\cdot(3x+15)$

    $6\cdot5x=5\cdot(3x+15)$
    $30x=15x+75=0\quad|-15x$
    $15x=75\quad|:15$

    $x=5$

  3. Проверьте результат

    Проверьте, включен ли результат в область

    $x=5$ включен в область $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash\{-5\}$: решение является допустимым.