Математика ↠ Расчет площадей с интегралами ↠ Области между графиками

Области между графиками

Отдельным случаем при вычислении площади между графиками функций является случай, когда площадь делится пересечением на несколько зон.

На рисунке: площадь $A_1$ находится ниже $f$ и выше $g$. Однако,площадь $A_2$, выше $f$ и ниже $g$.
В связи с этим, площади должны быть рассчитаны отдельно.

!

Запомни

Если одна из функций не является последовательно больше другой на протяжении всего интервала, необходимо вычислить области отдельно, а затем сложить их вместе.
Это происходит, когда координаты функций пересекаются в пределах интервала.
i

Метод

  1. Определите точки пересечения и сформируйте интервалы
  2. Найдите разность функций
  3. Вычислите определенный интеграл для каждого интервала
  4. Определите площадь

Например

Определите область, заключенную в графике функций $f(x)=\frac16x^3-x$ и $g(x)=-\frac16x^3+\frac13x^2+x$.


Подсказка: закрытая область - это область между внешними пересечениями.

  1. Найдите точки пересечения

    Установите равные функции для определения пересечений.
    $f(x)=g(x)$

    $\frac16x^3-x=-\frac16x^3+\frac13x^2+x$
    $\frac13x^3-\frac13x^2-2x=0$
    $x\cdot(\frac13x^2-\frac13x-2)=0$

    $x_{S_1}=0$

    $\frac13x^2-\frac13x-2=0\quad|\cdot3$
    $x^2-x-6=0$
    (Решите, квадратное уравнение, используя формулу квадратов I)
    $x_{S_{2,3}}=\frac12\pm\sqrt{(\frac12)^2+6}$
    $x_{S_2}=-2$ and $x_{S_3}=3$

  2. Определите интервалы

    $x_{S_1}=0$ находится между двумя точками пересечения и делит площадь на два участка, которые должны быть рассчитаны отдельно.
    $x_{S_1}=0$, $x_{S_2}=-2$ and $x_{S_3}=3$

    $A_1$ на $[-2;0]$
    $A_2$ на $[0;3]$

  3. Разность функций

    Вычтем $g(x)$ от $f(x)$,объединим и определим первообразную .
    $f(x)=\frac16x^3-x$
    $g(x)=-\frac16x^3+\frac13x^2+x$

    $h(x)=f(x)-g(x)$ $=(\frac16x^3-x)-$ $(-\frac16x^3+\frac13x^2+x)$ $=\frac13x^3-\frac13x^2-2x$

    $H(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac19x^3-x^2$

  4. Найдите и вычислите определенные интегралы

    Теперь для обоих интервалов необходимо определить интеграл.
    $\int_a^b (f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x$ $=\int_a^b h(x)\,\mathrm{d}x$ $= [H(x) + C]_a^b$ $= H(b) - H(a)$

    $A_1$ на $[-2;0]$
    $\int_{-2}^0 (\frac13x^3-\frac13x^2-2x)\,\mathrm{d}x$ $=[\frac{1}{12}x^4-\frac19x^3-x^2]_{-2}^0$ $=0-(\frac{1}{12}\cdot(-2)^4-\frac19\cdot(-2)^3-(-2)^2)$
    $=0-(-\frac{16}{9})$ $=\frac{16}{9}$

    $A_2$ на $[0;3]$
    $\int_0^3 (\frac13x^3-\frac13x^2-2x)\,\mathrm{d}x$ $=[\frac{1}{12}x^4-\frac19x^3-x^2]_0^3$ $=(\frac{1}{12}\cdot3^4-\frac19\cdot3^3-3^2)-0$
    $=(-\frac{21}{4})-0$ $=-\frac{21}{4}$

  5. Определите площадь

    Теперь площадь каждой части должна быть найдена и затем суммирована.
    $A_1$ $=\int_{-2}^0 (\frac13x^3-\frac13x^2-2x)\,\mathrm{d}x$ $=\frac{16}{9}$
    $A_2$ $=|\int_0^3 (\frac13x^3-\frac13x^2-2x)\,\mathrm{d}x|$ $=|-\frac{21}{4}|$ $=\frac{21}{4}$

    $A=A_1+A_2$ $=\frac{16}{9}+\frac{21}{4}\approx7.03$