Das Fadenpendel

Bei einem Fadenpendel hängt ein Körper an einem Seil. Dieser wird ausgelenkt und losgelassen.

Annahmen

Idealisierend wird angenommen, dass der Faden keine dreidimensionale Ausdehnung und kein Gewicht hat.

Wenn man das Kräfteparalellogramm anschaut, fällt auf, dass die rücktreibende Kraft nicht proportional zu der Auslenkung, sondern proportional zum Sinus der Auslenkung wirkt.

$m\cdot a(t) = -m\cdot g\cdot \sin(\varphi)$

Beachte

Für kleine Winkel (bis zu ca. 10°) ist $\sin(\varphi) \approx \varphi$.

Deshalb schwingt das Fadenpendel nur für kleine Auslenkungswinkel harmonisch.

Zudem ist der Anteil des Winkels am Gesamtwinkel der gleiche wie der Kreisbogen am Umfang.

$\frac{\varphi}{2\pi} = \frac{s}{2\pi\cdot l}$

$\varphi = \frac{s}{l}$

Demnach ist der Ansatz:

$m\cdot a(t) = - m\cdot g\cdot \frac{s(t)}{l}$

Löst man dies, dann kommt man auf die Lösung $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$

$s(t) = A\cdot \sin(\sqrt{\frac{g}{l}}t + \varphi)$

In der Schwingungsgleichung ist $\varphi$ wieder die Verschiebung und nicht der Auslenkungswinkel.

Schwingungsdauer

Wenn man $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ in die Schwingungsdauer $T=\frac{2\pi}{\omega}$ einsetzt, gilt bei kleinen Auslenkungen:

$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

$l$ ist die Länge des Pendels
$g$ ist die Erdbeschleunigung

Merke

Die Schwingungsdauer $T$ ist unabhängig von der Masse des Pendelkörpers.