Ortskurve

Die Extrem- oder Wendepunkte aller Funktionsgraphen einer Funktionenschar liegen auf einem neuen Graphen, der Ortskurve.

Beispiel

Bestimme die Ortskurve der Tiefpunkte von $f_a(x)=x^2+ax$ ($a\in\mathbb{R}$)

1. Ableitungen bestimmen

   $f_a(x)=x^2+ax$
   $f_a'(x)=2x+a$
   $f_a''(x)=2$

2. Tiefpunkt berechnen

   Extrempunkte berechnen: Erste Ableitung gleich Null setzen
   $f_a'(x)=0$
   $2x+a=0\quad|-a$
   $2x=-a\quad|:2$
   $x_E=-\frac{a}2$
   
   extremwertverdächtige Stellen in die zweite Ableitung einsetzen:
   $f_a''(-\frac{a}2)=2>0$ => Tiefpunkt
   
   y-Koordinate berechnen und Tiefpunkt angeben:
   $f_a(-\frac{a}2)$ $=(-\frac{a}2)^2+a\cdot(-\frac{a}2)$ $=\frac{a^2}4-\frac{a^2}2$ $=\frac{a^2}4-\frac{2a^2}4$ $=-\frac{a^2}4$
   
   $T(-\frac{a}2|-\frac{a^2}4)$

3. Gleichungen für x- und y-Wert aufstellen

   Aus den Koordinaten des Tiefpunktes kann man nun zwei Gleichungen aufstellen.
   $T(-\frac{a}2|-\frac{a^2}4)$
   $x=-\frac{a}2$
   $y=-\frac{a^2}4$

4. Gleichung umstellen und einsetzen

   Die Gleichung für x wird jetzt nach dem Parameter $a$ umgestellt und in die zweite eingesetzt.
   $x=-\frac{a}2\quad|\cdot(-2)$
   $a=-2x$
   
   $y=-\frac{a^2}4$
   $y=-\frac{(-2x)^2}4$ $=-\frac{4x^2}4$ $=-x^2$
   
   Ortskurve: $y=-x^2$