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Anwendung von Exponentialfunktionen

Exponentialfunktion werden verwendet, um exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse zu beschreiben.

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Tipp

Sowohl bei exponentieller Zunahme als auch Abnahme wird der Oberbegriff exponentielles Wachstum verwendet.

Exponentielles Wachstum besitzt folgende Funktionsgleichung:

$N(t)=a\cdot b^t$

$t...$ Zeit
$a ...$ Anfangsbestand
$b ...$ Wachstumsfaktor
$N(t) ...$ Wert in der Abhängigkeit von $t$

Exponentielle Zu- und Abnahme

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Merke

  • Wenn der Wachstumsfaktor $b$ größer als 1 ist, handelt es sich um exponentielle Zunahme.
  • Wenn der Wachstumsfaktor $b$ kleiner als 1 und größer als 0 ist, handelt es sich um exponentielle Abnahme.

BEISPIEL

Eine Person nimmt 6mg eines Medikaments ein. Dieses wird jedem Tag um $\frac13$ abgebaut. Wie viel mg sind nach 7 Tagen noch im Körper?

  1. Werte aus der Aufgabe bestimmen

    Jeden Tag wird $\frac13$ abgebaut, das heißt es bleiben$\frac23$ übrig. Der Abnahmefaktor ist $b=\frac23$
    Der Anfangsbestand $a=6$
    Es interessiert der 7. Tag. Daher ist die Zeit $t=7$

  2. Werte in die Formel einsetzen und ausrechnen

    $N(\color{purple}{t})=\color{red}{a}\cdot \color{green}{b}^\color{purple}{t}$
    $N(\color{purple}{7})=\color{red}{6}\cdot (\color{green}{\frac23})^\color{purple}{7}\approx0,35$
    Am 7. Tag befinden sich noch ungefähr 0,35mg des Medikaments im Körper.

Prozentuales Wachstum

Wenn eine Zunahme oder Abnahme mit einem konstantem prozentualen Wachstumsfaktor gegeben ist, handelt es sich um prozentuales Wachstum. Dies ist auch ein exponentieller Wachstumsprozess und kann deshalb mit einer Exponentialfunktion beschrieben werden.

Bei Zunahme mit einer prozentualen Wachstumsrate $p$ % gilt der Wachstumsfaktor $(1+\frac{p}{100})$ und bei Abnahme mit einer prozentualen Abnahmerate $p$ % gilt der Abnahmefaktor $(1-\frac{p}{100})$.

Setzt man den Wachstums- bzw. Abnahmefaktor in die obige Formel für $b$ ein, erhält man bei prozentualer Zunahme die Gleichung

$N(t)=a\cdot (1+\frac{p}{100})^t$

und bei prozentualer Abnahme die Gleichung

$N(t)=a\cdot (1-\frac{p}{100})^t$

BEISPIEL

3m² der Wasseroberfläche eines Sees sind mit einer Algensorte bedeckt, die jährlich um 50% wächst. Berechne die bedeckte Fläche der nächsten 5 Jahre an.

  1. Werte aus der Aufgabe bestimmen

    Die prozentuale Wachstumsrate ist $p=50$
    Der Anfangsbestand $a=3$
    Für die Zeit $t$ müssen die Jahre 1 bis 5 eingesetzt werden.

  2. Werte in die Formel einsetzen

    Es handelt sich um prozentuale Zunahme, da es einen prozentualen Wachstumsfaktor gibt und die Fläche wächst. Zuerst setzten wir die konstanten Werte $p$ und $a$ in die Formel für prozentuale Zunahme ein.

    $N(\color{purple}{t})=\color{red}{a}\cdot (1+\frac{\color{green}{p}}{100})^\color{purple}{t}$
    $N(\color{purple}{t})=\color{red}{3}\cdot (1+\frac{\color{green}{50}}{100})^\color{purple}{t}=\color{red}{3}\cdot1,5^\color{purple}{t}$

    Jetzt die Werte 1 bis 5 für $t$ einsetzen und ausrechnen.

    $N(\color{purple}{1})=\color{red}{3}\cdot1,5^\color{purple}{1}=4,5$
    $N(\color{purple}{2})=\color{red}{3}\cdot1,5^\color{purple}{2}=6,75$
    $N(\color{purple}{3})=\color{red}{3}\cdot1,5^\color{purple}{3}\approx10,13$
    $N(\color{purple}{4})=\color{red}{3}\cdot1,5^\color{purple}{4}\approx15,19$
    $N(\color{purple}{5})=\color{red}{3}\cdot1,5^\color{purple}{5}\approx22,78$