Математика ↠ Показательная функция ↠ Использование показательных функций

Использование показательных функций

Показательные функции, используются для описания экспоненциальных процессов роста и спада.

Экспоненциальный рост и спад имеют следующее функциональное уравнение:

$N(t)=a\cdot b^t$

$t...$ время
$a ...$ первоначальный уровень
$b ...$ фактор роста
$N(t) ...$ значение в зависимости от $t$

Экспоненциальный рост и спад

i

Подсказка

  • Если, фактор роста $b$ больше 1, это экспоненциальный рост (увеличивается).
  • Если, фактор роста $b$ меньше 1 и больше 0, это экспоненциальное затухание (уменьшение).

Один человек принимает 6 мг препарата. Он распадается на следующие части: $\frac13$ каждый день. Сколько мг все еще находится в организме через 7 дней?

  1. Найдите значения из задачи

    Каждый день $\frac13$ разрушается, это значит $\frac23$ остается. Коэффициент уменьшения составляет $b=\frac23$
    Первоначальный уровень $a=6$
    7-й день нас интересует. Следовательно, время $t=7$

  2. Вставьте значения в формулу и рассчитайте

    $N(\color{purple}{t})=\color{red}{a}\cdot \color{green}{b}^\color{purple}{t}$
    $N(\color{purple}{7})=\color{red}{6}\cdot (\color{green}{\frac23})^\color{purple}{7}\approx0.35$
    На 7-й день в организме остается еще около 0,35 мг препарата.

Процентный рост

Если есть увеличение или уменьшение с постоянным процентным коэффициентом роста, то это процентный рост. Это также является экспоненциальным процессом роста и поэтому может быть описан с помощью показательной функции.

При увеличении с процентным темпом роста $p$ % ,фактор роста $(1+\frac{p}{100})$ применяется и при уменьшении с процентным уменьшением ставки $p$ % ,коэффициент уменьшения $(1-\frac{p}{100})$.

Подставляя коэффициент роста или уменьшения в приведенную выше формулу для $b$, получаем с процентным увеличением уравнение

$N(t)=a\cdot (1+\frac{p}{100})^t$

а при процентном уменьшении уравнение

$N(t)=a\cdot (1-\frac{p}{100})^t$

Например

3м² часть водной поверхности озера покрыта таким видом водорослей, которые ежегодно вырастают на 50%. Рассчитайте охватываемую площадь на ближайшие 5 лет.

  1. Найдите значения из задачи

    Процентный темп роста составляет $p=50$
    Первоначальный уровень $a=3$
    Для времени $t$ , нужно использовать интервал от 1 до 5 лет.

  2. Вставьте значения в формулу

    Это процентное увеличение, так как есть процентный фактор роста, и площадь растет. Сначала, мы ставим постоянные значения $p$ и $a$ в формулу процентного увеличения.

    $N(\color{purple}{t})=\color{red}{a}\cdot (1+\frac{\color{green}{p}}{100})^\color{purple}{t}$
    $N(\color{purple}{t})=\color{red}{3}\cdot (1+\frac{\color{green}{50}}{100})^\color{purple}{t}=\color{red}{3}\cdot1.5^\color{purple}{t}$

    Теперь используйте значения от 1 до 5 для $t$ и рассчитайте.

    $N(\color{purple}{1})=\color{red}{3}\cdot1.5^\color{purple}{1}=4.5$
    $N(\color{purple}{2})=\color{red}{3}\cdot1.5^\color{purple}{2}=6.75$
    $N(\color{purple}{3})=\color{red}{3}\cdot1.5^\color{purple}{3}\approx10.13$
    $N(\color{purple}{4})=\color{red}{3}\cdot1.5^\color{purple}{4}\approx15.19$
    $N(\color{purple}{5})=\color{red}{3}\cdot1.5^\color{purple}{5}\approx22.78$