Zweiter Strahlensatz

Um den zweiten Strahlensatz anwenden zu können, muss also wieder folgende Konstruktion vorliegen.

Beim zweiten Strahlensatz geht es um das Verhältnis zwischen den Parallelen und jeweils einem der beiden Strahlen.

Formeln

Beispiele

Gleichheit zeigen

1. Man nehme die tatsächlichen Längen aus oben abgebildetem Koordinatensystem. Berechnen lassen sich diese mit Hilfe des Satzes des Pythagoras.

   • $\overline{AB}$ $=\sqrt{(2-(-2))^2+(2-(-6))^2}$ $=\sqrt{4^2+8^2}$ $=\sqrt{16+64}$ $=\sqrt{80}$

   Äquivalent gilt für die anderen Werte:

   • $\overline{A'B'}=\sqrt{320}$
   • $\overline{ZA}=\sqrt{68}$
   • $\overline{ZA'}=\sqrt{272}$

   Durch Einsetzen in die erste Formel erkennt man, dass die Werte die Gleichheit erfüllen.

   $\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$ $=\frac{\sqrt{320}}{\sqrt{80}}=2$ $=\frac{\sqrt{272}}{\sqrt{68}}$ $=\frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}$

2. Dasselbe Prinzip können wir auch für die zweite Formel anwenden. Wir wissen schon

   • $\overline{AB}=\sqrt{80}$
   • $\overline{A'B'}=\sqrt{320}$
   und können nun ebenfalls berechnen
   • $\overline{ZB}=6$
   • $\overline{ZB'}=12$

   Durch Einsetzen in die zweite Formel erkennt man, dass die Werte die Gleichheit erfüllen.

   $\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$ $=\frac{\sqrt{320}}{\sqrt{80}}=2$ $=\frac{12}{6}$ $=\frac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}}$

Gleichung lösen

Bei den folgenden zwei Aufgaben sind drei der vier Werte bekannt und der vierte ist gesucht.

3. Nun lösen wir uns vom abgebildeten Koordinatensystem und behalten nur die Grundstruktur im Kopf. Es soll nun gelten
   • $\overline{A'B'}=21$
   • $\overline{AB}=7$
   • $\overline{ZA}=3$
   Durch Einsetzen in die erste Formel erhält man dann $\overline{ZA'}=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}\cdot \overline{ZA}$ $=\frac{21}{7}\cdot 3$ $=9$.
4. Nun soll gelten
   • $\overline{A'B'}=10$
   • $\overline{AB}=4$
   • $\overline{ZB'}=15$
   Durch Einsetzen in die zweite Formel erhält man dann $\overline{ZB}$ $=\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}\cdot\overline{ZB'}$ $=\frac{4}{10}\cdot15$ $=6$.