Mathe Strahlensätze

Strahlensätze

Die Strahlensätze sind zentrale Aussagen in der Geometrie und ermöglichen es, unbekannte Streckenlängen auszurechnen, indem das Verhältnis von Strecken betrachtet wird. Wir behandeln hier den ersten und zweiten Strahlensatz sowie deren Anwendung.

Voraussetzungen und Strahlen

Anwendungsvoraussetzung für die beiden Strahlensätze ist das folgende geometrische Konstrukt.

Anwendungsvoraussetzungen Strahlensatz

Für das Verständnis sind die Definitionen eines Strahles und einer Geraden wichtig.

  • Geraden (blau) erstrecken sich in beide Richtungen ins Unendliche
  • Strahlen (rot) beginnen an einem Punkt und erstrecken sich von dort in nur eine Richtung ins Unendliche

1. Strahlensatz

Wenn die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind, besagt der erste Strahlensatz:

Das Verhältnis von zwei Strecken auf einem Strahl entspricht dem Verhältnis der entsprechenden Strecken auf dem anderen Strahl.

Formeln

$\frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}=\frac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}}$

$\frac{\overline{AA'}}{\overline{ZA}}=\frac{\overline{BB'}}{\overline{ZB}}$

2. Strahlensatz

Beim zweiten Strahlensatz geht es um das Verhältnis zwischen den Parallelen und jeweils einem der beiden Strahlen.

Formeln

$\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}$

$\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}}$

Kehrsatz zum ersten Strahlensatz

Der Kehrsatz zum ersten Strahlensatz besagt:

Wenn sich die Strecken $\overline{ZA'}$ und $\overline{ZA}$ so zueinander verhalten wie die Strecken $\overline{ZB'}$ und $\overline{ZB}$, dann sind die Geraden, die durch $A$ und $B$ bzw. durch $A'$ und $B'$ verlaufen, parallel zueinander.

$\frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}=\frac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}}$ $\,$ $\Rightarrow$ $\,$ $g_{AB}\parallel g_{A'B'}$
!

Merke

Der Kehrsatz gilt nicht für den 2. Strahlensatz.
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