Anwendungen der Strahlensätze

Kehrsatz zum ersten Strahlensatz

Wir haben wieder die fünf Punkte $Z$, $A$, $A'$, $B$, $B'$ und es gilt

ein Strahl verläuft von $Z$ durch $A$ und $A'$
ein Strahl verläuft von $Z$ durch $B$ und $B'$

Der Kehrsatz besagt:

Wenn sich die Strecken $\overline{ZA'}$ und $\overline{ZA}$ so zueinander verhalten wie die Strecken $\overline{ZB'}$ und $\overline{ZB}$, dann sind die Geraden, die durch $A$ und $B$ bzw. durch $A'$ und $B'$ verlaufen, parallel zueinander

$\frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}=\frac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}}$ $\,$ $\Rightarrow$ $\,$ $g_{AB}\parallel g_{A'B'}$

Beachte

Dieser Kehrsatz kann beim zweiten Strahlensatz nicht angewendet werden. Betrachte beispielsweise folgende Grafik.

$strahlensaetze_anwendungen_fehlschluss$

Hierbei gilt $\overline{AB}=\overline{CB}$.

Im Allgemeinen gilt hier nicht, dass die Geraden, die durch $A$ und $B$ bzw. durch $A'$ und $B'$ verlaufen, parallel zueinander sind, wenn sich $\overline{A'B'}$ zu $\overline{AB}$ verhält wie $\overline{ZB'}$ zu $\overline{ZB}$

($\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}}$ $\,$ $\nRightarrow$ $\,$ $g_{AB}\parallel g_{A'B'}$).

Betrachtet man den Punkt $C$ anstatt von $A$, dann gilt zwar, dass sich $\overline{A'B'}$ zu $\overline{CB}$ verhält wie $\overline{ZB'}$ zu $\overline{ZB}$

($\frac{\overline{A'B'}}{\overline{CB}}=\frac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}}$),

aber die Gerade, die durch $C$ und $B$ verläuft, ist nicht parallel zu der Gerade, die durch $A'$ und $B'$ verläuft

($g_{CB}\nparallel g_{A'B'}$).

Mittelparallele eines Dreiecks

Man betrachte folgendes Dreieck.

$strahlensaetze_mittelparallele$

Die Strecke $\overline{DE}$ ist eine Parallelstrecke zur Dreiecksseite $\overline{AB}$ im Abstand der halben Höhe des Dreiecks und heißt Mittelparallele. Also gilt:

$D$ liegt genau auf der Mitte der Strecke $\overline{AC}$
$E$ liegt genau auf der Mitte der Strecke $\overline{BC}$

Mit dem zweiten Strahlensatz gilt hier:

$\frac{\overline{DE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{AC}}$

Da $\overline{CD}$ genau die Hälfte von $\overline{AC}$ ist, gilt also $\frac{\overline{CD}}{\overline{AC}}=\frac{1}{2}$.

Somit gilt auch $\frac{\overline{DE}}{\overline{AB}}=\frac{1}{2}$, also ist die Strecke $\overline{AB}$ genau doppelt so lang wie die Strecke $\overline{DE}$.

Seitenhalbierenden eines Dreiecks

Man betrachte folgendes Dreieck.

$strahlensaetze_seitenhalbierende$

Die Strecken $\overline{CE}$, $\overline{AF}$ und $\overline{BD}$ sind hier die Seitenhalbierenden zu den drei Seiten des Dreiecks. Sie gehen jeweils von einem der drei Punkte zur Mitte der gegenüberliegenden Seite.

Nun stelle man sich eine Gerade durch die Punkte $D$ und $F$ vor. Diese Gerade $g_{DF}$ verläuft parallel zur Geraden $g_{AB}$ und die Strecke $\overline{DF}$ ist genau halb so lang wie die Strecke $\overline{AB}$, was schon eben im Kapitel Mittelparallele eines Dreiecks gezeigt wurde

($\frac{\overline{DF}}{\overline{AB}}=\frac{1}{2}$).

Damit wurden die Voraussetzungen für die Anwendung der Strahlensätze geschaffen. Hier lautet der Strahlensatz also:

$\frac{\overline{DF}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{SF}}{\overline{SA}}$,

also $\frac{\overline{SF}}{\overline{SA}}=\frac{1}{2}$

Das gleiche Prinzip kann für die anderen beiden Seitenhalbierenden angewendet werden:

$\frac{\overline{SD}}{\overline{SB}}=\frac{1}{2}$ und $\frac{\overline{SE}}{\overline{SC}}=\frac{1}{2}$

Man weiß also mithilfe der Strahlensätze, dass der Punkt $S$, in dem sich alle drei Seitenhalbierenden schneiden, die Seitenhalbierenden im Verhältnis $\frac{1}{2}$ oder $1:2$ teilt.